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# 动态规划:Carl称它为排列总和!

# 377. 组合总和 Ⅳ

力扣题目链接 (opens new window)

难度:中等

给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组,找出和为给定目标正整数的组合的个数。

示例:

nums = [1, 2, 3] target = 4

所有可能的组合为: (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)

请注意,顺序不同的序列被视作不同的组合。

因此输出为 7。

# 思路

对完全背包还不了解的同学,可以看这篇:动态规划:关于完全背包,你该了解这些! (opens new window)

本题题目描述说是求组合,但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合,其实就是求排列!

弄清什么是组合,什么是排列很重要。

组合不强调顺序,(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序,(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

大家在公众号里学习回溯算法专题的时候,一定做过这两道题目回溯算法:39.组合总和 (opens new window)回溯算法:40.组合总和II (opens new window)会感觉这两题和本题很像!

但其本质是本题求的是排列总和,而且仅仅是求排列总和的个数,并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话,只能使用回溯算法爆搜

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

  1. 确定递推公式

dp[i](考虑nums[j])可以由 dp[i - nums[j]](不考虑nums[j]) 推导出来。

因为只要得到nums[j],排列个数dp[i - nums[j]],就是dp[i]的一部分。

动态规划:494.目标和 (opens new window)动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经讲过了,求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

  1. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故,dp[0]要初始化为1,这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢?

其实没有意义,所以我也不去强行解释它的意义了,因为题目中也说了:给定目标值是正整数! 所以dp[0] = 1是没有意义的,仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢?

初始化为0,这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

  1. 确定遍历顺序

个数可以不限使用,说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列,说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列,那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

动态规划:518.零钱兑换II (opens new window) 中就已经讲过了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

如果把遍历nums(物品)放在外循环,遍历target的作为内循环的话,举一个例子:计算dp[4]的时候,结果集只有 {1,3} 这样的集合,不会有{3,1}这样的集合,因为nums遍历放在外层,3只能出现在1后面!

所以本题遍历顺序最终遍历顺序:target(背包)放在外循环,将nums(物品)放在内循环,内循环从前到后遍历

  1. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下:

377.组合总和Ⅳ

如果代码运行处的结果不是想要的结果,就把dp[i]都打出来,看看和我们推导的一不一样。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

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C++测试用例有超过两个树相加超过int的数据,所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

但java就不用考虑这个限制,java里的int也是四个字节吧,也有可能leetcode后台对不同语言的测试数据不一样。

# 总结

求装满背包有几种方法,递归公式都是一样的,没有什么差别,但关键在于遍历顺序!

本题与动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)就是一个鲜明的对比,一个是求排列,一个是求组合,遍历顺序完全不同。

如果对遍历顺序没有深度理解的话,做这种完全背包的题目会很懵逼,即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。

此时大家应该对动态规划中的遍历顺序又有更深的理解了。

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) {
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
                if (i >= nums[j]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}
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Python:

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums, target):
        dp = [0] * (target + 1)
        dp[0] = 1

        for i in range(1, target+1):
            for j in nums:
                if i >= j:
                    dp[i] += dp[i - j]

        return dp[-1]
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Go:

func combinationSum4(nums []int, target int) int {
	//定义dp数组
	dp := make([]int, target+1)
	// 初始化
	dp[0] = 1
	// 遍历顺序, 先遍历背包,再循环遍历物品
	for j:=0;j<=target;j++ {
		for i:=0 ;i < len(nums);i++ {
			if j >= nums[i] {
				dp[j] += dp[j-nums[i]]
			}
		}
	}
	return dp[target]
}
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Javascript:

const combinationSum4 = (nums, target) => {

    let dp = Array(target + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;

    for(let i = 0; i <= target; i++) {
        for(let j = 0; j < nums.length; j++) {
            if (i >= nums[j]) {
                dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
    }

    return dp[target];
};
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Rust

impl Solution {
    pub fn combination_sum4(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
        let mut dp = vec![0; target as usize + 1];
        dp[0] = 1;
        for i in 1..=target as usize {
            for &j in nums.iter() {
                if i as i32 >= j {
                    dp[i] += dp[i- j as usize];
                }
            }
        }
        return dp[target as usize];
    }
}
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