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# 动态规划:给你一些零钱,你要怎么凑?

# 518. 零钱兑换 II

力扣题目链接 (opens new window)

难度:中等

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

示例 2: 输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3: 输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1

注意,你可以假设:

  • 0 <= amount (总金额) <= 5000
  • 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
  • 硬币种类不超过 500 种
  • 结果符合 32 位符号整数

# 思路

这是一道典型的背包问题,一看到钱币数量不限,就知道这是一个完全背包。

对完全背包还不了解的同学,可以看这篇:动态规划:关于完全背包,你该了解这些! (opens new window)

但本题和纯完全背包不一样,纯完全背包是能否凑成总金额,而本题是要求凑成总金额的个数!

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数,为什么强调是组合数呢?

例如示例一:

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合,都是 2 2 1。

如果问的是排列数,那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序,排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。

那我为什么要介绍这些呢,因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!

回归本题,动规五步曲来分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

  1. 确定递推公式

dp[j] (考虑coins[i]的组合总和) 就是所有的dp[j - coins[i]](不考虑coins[i])相加。

所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];

这个递推公式大家应该不陌生了,我在讲解01背包题目的时候在这篇动态规划:目标和! (opens new window)中就讲解了,求装满背包有几种方法,一般公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];

  1. dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。

从dp[i]的含义上来讲就是,凑成总金额0的货币组合数为1。

下标非0的dp[j]初始化为0,这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

  1. 确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额),还是外层for遍历背包(金钱总额),内层for循环遍历物品(钱币)呢?

我在动态规划:关于完全背包,你该了解这些! (opens new window)中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。

但本题就不行了!

因为纯完全背包求得是能否凑成总和,和凑成总和的元素有没有顺序没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行!

而本题要求凑成总和的组合数,元素之间要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行,不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数,且每个方案个数是为组合数。

那么本题,两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况。

代码如下:

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}
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假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!

如果把两个for交换顺序,代码如下:

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}
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背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数!

可能这里很多同学还不是很理解,建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来,对比看一看!(实践出真知)

  1. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:

518.零钱兑换II

最后红色框dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};
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是不是发现代码如此精简,哈哈

# 总结

本题的递推公式,其实我们在动态规划:目标和! (opens new window)中就已经讲过了,而难点在于遍历顺序!

在求装满背包有几种方案的时候,认清遍历顺序是非常关键的。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

可能说到排列数录友们已经有点懵了,后面Carl还会安排求排列数的题目,到时候在对比一下,大家就会发现神奇所在!

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //递推表达式
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组,表示金额为0时只有一种情况,也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}
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Python:

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0]*(amount + 1)
        dp[0] = 1
        # 遍历物品
        for i in range(len(coins)):
            # 遍历背包
            for j in range(coins[i], amount + 1):
                dp[j] += dp[j - coins[i]]
        return dp[amount]
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Go:

func change(amount int, coins []int) int {
	// 定义dp数组
	dp := make([]int, amount+1)
	// 初始化,0大小的背包, 当然是不装任何东西了, 就是1种方法
	dp[0]  = 1
	// 遍历顺序
	// 遍历物品
	for i := 0 ;i < len(coins);i++ {
		// 遍历背包
		for j:= coins[i] ; j <= amount ;j++ {
			// 推导公式
			dp[j] += dp[j-coins[i]]
		}
	}
	return dp[amount]
}
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Javascript:

const change = (amount, coins) => {
    let dp = Array(amount + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;

    for(let i =0; i < coins.length; i++) {
        for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            dp[j] += dp[j - coins[i]];
        }
    }

    return dp[amount];
}
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