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这篇可以说是全网把组合问题如何去重,讲的最清晰的了!

# 40.组合总和II

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ,找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明: 所有数字(包括目标数)都是正整数。 解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8, 所求解集为: [ [1, 7], [1, 2, 5], [2, 6], [1, 1, 6] ]

示例 2: 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5, 所求解集为: [   [1,2,2],   [5] ]

# 思路

如果对回溯算法基础还不了解的话,我还特意录制了一期视频:带你学透回溯算法(理论篇) (opens new window) 可以结合题解和视频一起看,希望对大家理解回溯算法有所帮助。

这道题目和39.组合总和 (opens new window)如下区别:

  1. 本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
  2. 本题数组candidates的元素是有重复的,而39.组合总和 (opens new window)是无重复元素的数组candidates

最后本题和39.组合总和 (opens new window)要求一样,解集不能包含重复的组合。

本题的难点在于区别2中:集合(数组candidates)有重复元素,但还不能有重复的组合

一些同学可能想了:我把所有组合求出来,再用set或者map去重,这么做很容易超时!

所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。

很多同学在去重的问题上想不明白,其实很多题解也没有讲清楚,反正代码是能过的,感觉是那么回事,稀里糊涂的先把题目过了。

这个去重为什么很难理解呢,所谓去重,其实就是使用过的元素不能重复选取。 这么一说好像很简单!

都知道组合问题可以抽象为树形结构,那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的,一个维度是同一树枝上使用过,一个维度是同一树层上使用过。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。

那么问题来了,我们是要同一树层上使用过,还是同一树枝上使用过呢?

回看一下题目,元素在同一个组合内是可以重复的,怎么重复都没事,但两个组合不能相同。

所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”,同一树枝上的都是一个组合里的元素,不用去重

为了理解去重我们来举一个例子,candidates = [1, 1, 2], target = 3,(方便起见candidates已经排序了)

强调一下,树层去重的话,需要对数组排序!

选择过程树形结构如图所示:

40.组合总和II

可以看到图中,每个节点相对于 39.组合总和 (opens new window)我多加了used数组,这个used数组下面会重点介绍。

# 回溯三部曲

  • 递归函数参数

39.组合总和 (opens new window)套路相同,此题还需要加一个bool型数组used,用来记录同一树枝上的元素是否使用过。

这个集合去重的重任就是used来完成的。

代码如下:

vector<vector<int>> result; // 存放组合集合
vector<int> path;           // 符合条件的组合
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
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  • 递归终止条件

39.组合总和 (opens new window)相同,终止条件为 sum > targetsum == target

代码如下:

if (sum > target) { // 这个条件其实可以省略
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}
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sum > target 这个条件其实可以省略,因为和在递归单层遍历的时候,会有剪枝的操作,下面会介绍到。

  • 单层搜索的逻辑

这里与39.组合总和 (opens new window)最大的不同就是要去重了。

前面我们提到:要去重的是“同一树层上的使用过”,如果判断同一树层上元素(相同的元素)是否使用过了呢。

如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false,就说明:前一个树枝,使用了candidates[i - 1],也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]

此时for循环里就应该做continue的操作。

这块比较抽象,如图:

40.组合总和II1

我在图中将used的变化用橘黄色标注上,可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下:

  • used[i - 1] == true,说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
  • used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过

这块去重的逻辑很抽象,网上搜的题解基本没有能讲清楚的,如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目,看到这里一定会感觉通透了很多!

那么单层搜索的逻辑代码如下:

for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
    // used[i - 1] == true,说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
    // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过
    // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
    if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
        continue;
    }
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    used[i] = true;
    backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1:这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次
    used[i] = false;
    sum -= candidates[i];
    path.pop_back();
}
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注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作,在39.组合总和 (opens new window)有讲解过!

回溯三部曲分析完了,整体C++代码如下:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            // used[i - 1] == true,说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过
            // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1,这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次
            used[i] = false;
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<bool> used(candidates.size(), false);
        path.clear();
        result.clear();
        // 首先把给candidates排序,让其相同的元素都挨在一起。
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
        return result;
    }
};

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# 补充

这里直接用startIndex来去重也是可以的, 就不用used数组了。

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if (i > startIndex && candidates[i] == candidates[i - 1]) {
                continue;
            }
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1); // 和39.组合总和的区别1,这里是i+1,每个数字在每个组合中只能使用一次
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }

public:
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        path.clear();
        result.clear();
        // 首先把给candidates排序,让其相同的元素都挨在一起。
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
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# 总结

本题同样是求组合总和,但就是因为其数组candidates有重复元素,而要求不能有重复的组合,所以相对于39.组合总和 (opens new window)难度提升了不少。

关键是去重的逻辑,代码很简单,网上一搜一大把,但几乎没有能把这块代码含义讲明白的,基本都是给出代码,然后说这就是去重了,究竟怎么个去重法也是模棱两可

所以Carl有必要把去重的这块彻彻底底的给大家讲清楚,就连“树层去重”和“树枝去重”都是我自创的词汇,希望对大家理解有帮助!

# 其他语言版本

# Java

使用标记数组

class Solution {
    List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
    Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
    int sum = 0;

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        //为了将重复的数字都放到一起,所以先进行排序
        Arrays.sort(candidates);
        //加标志数组,用来辅助判断同层节点是否已经遍历
        boolean[] flag = new boolean[candidates.length];
        backTracking(candidates, target, 0, flag);
        return lists;
    }

    public void backTracking(int[] arr, int target, int index, boolean[] flag) {
        if (sum == target) {
            lists.add(new ArrayList(deque));
            return;
        }
        for (int i = index; i < arr.length && arr[i] + sum <= target; i++) {
            //出现重复节点,同层的第一个节点已经被访问过,所以直接跳过
            if (i > 0 && arr[i] == arr[i - 1] && !flag[i - 1]) {
                continue;
            }
            flag[i] = true;
            sum += arr[i];
            deque.push(arr[i]);
            //每个节点仅能选择一次,所以从下一位开始
            backTracking(arr, target, i + 1, flag);
            int temp = deque.pop();
            flag[i] = false;
            sum -= temp;
        }
    }
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不使用标记数组

class Solution {
  List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
  LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
  int sum = 0;
  
  public List<List<Integer>> combinationSum2( int[] candidates, int target ) {
    //为了将重复的数字都放到一起,所以先进行排序
    Arrays.sort( candidates );
    backTracking( candidates, target, 0 );
    return res;
  }
  
  private void backTracking( int[] candidates, int target, int start ) {
    if ( sum == target ) {
      res.add( new ArrayList<>( path ) );
      return;
    }
    for ( int i = start; i < candidates.length && sum + candidates[i] <= target; i++ ) {
      //正确剔除重复解的办法
      //跳过同一树层使用过的元素
      if ( i > start && candidates[i] == candidates[i - 1] ) {
        continue;
      }

      sum += candidates[i];
      path.add( candidates[i] );
      // i+1 代表当前组内元素只选取一次
      backTracking( candidates, target, i + 1 );

      int temp = path.getLast();
      sum -= temp;
      path.removeLast();
    }
  }
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# Python

回溯+巧妙去重(省去使用used

class Solution:
    def __init__(self):
        self.paths = []
        self.path = []

    def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        '''
        类似于求三数之和,求四数之和,为了避免重复组合,需要提前进行数组排序
        '''
        self.paths.clear()
        self.path.clear()
        # 必须提前进行数组排序,避免重复
        candidates.sort()
        self.backtracking(candidates, target, 0, 0)
        return self.paths

    def backtracking(self, candidates: List[int], target: int, sum_: int, start_index: int) -> None:
        # Base Case
        if sum_ == target:
            self.paths.append(self.path[:])
            return
        
        # 单层递归逻辑
        for i in range(start_index, len(candidates)):
            # 剪枝,同39.组合总和
            if sum_ + candidates[i] > target:
                return
            
            # 跳过同一树层使用过的元素
            if i > start_index and candidates[i] == candidates[i-1]:
                continue
            
            sum_ += candidates[i]
            self.path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target, sum_, i+1)
            self.path.pop()             # 回溯,为了下一轮for loop
            sum_ -= candidates[i]       # 回溯,为了下一轮for loop
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回溯+去重(使用used)

class Solution:
    def __init__(self):
        self.paths = []
        self.path = []
        self.used = []

    def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        '''
        类似于求三数之和,求四数之和,为了避免重复组合,需要提前进行数组排序
        本题需要使用used,用来标记区别同一树层的元素使用重复情况:注意区分递归纵向遍历遇到的重复元素,和for循环遇到的重复元素,这两者的区别
        '''
        self.paths.clear()
        self.path.clear()
        self.usage_list = [False] * len(candidates)
        # 必须提前进行数组排序,避免重复
        candidates.sort()
        self.backtracking(candidates, target, 0, 0)
        return self.paths

    def backtracking(self, candidates: List[int], target: int, sum_: int, start_index: int) -> None:
        # Base Case
        if sum_ == target:
            self.paths.append(self.path[:])
            return
        
        # 单层递归逻辑
        for i in range(start_index, len(candidates)):
            # 剪枝,同39.组合总和
            if sum_ + candidates[i] > target:
                return
            
            # 检查同一树层是否出现曾经使用过的相同元素
            # 若数组中前后元素值相同,但前者却未被使用(used == False),说明是for loop中的同一树层的相同元素情况
            if i > 0 and candidates[i] == candidates[i-1] and self.usage_list[i-1] == False:
                continue

            sum_ += candidates[i]
            self.path.append(candidates[i])
            self.usage_list[i] = True
            self.backtracking(candidates, target, sum_, i+1)
            self.usage_list[i] = False  # 回溯,为了下一轮for loop
            self.path.pop()             # 回溯,为了下一轮for loop
            sum_ -= candidates[i]       # 回溯,为了下一轮for loop
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# Go

主要在于如何在回溯中去重

使用used数组

func combinationSum2(candidates []int, target int) [][]int {
    var trcak []int
    var res [][]int
    var history map[int]bool
    history=make(map[int]bool)
    sort.Ints(candidates)
    backtracking(0,0,target,candidates,trcak,&res,history)
    return res
}
func backtracking(startIndex,sum,target int,candidates,trcak []int,res *[][]int,history map[int]bool){
    //终止条件
    if sum==target{
        tmp:=make([]int,len(trcak))
        copy(tmp,trcak)//拷贝
        *res=append(*res,tmp)//放入结果集
        return
    }
    if sum>target{return}
    //回溯
    // used[i - 1] == true,说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
    // used[i - 1] == false,说明同一树层candidates[i - 1]使用过
    for i:=startIndex;i<len(candidates);i++{
        if i>0&&candidates[i]==candidates[i-1]&&history[i-1]==false{
                continue
        }
        //更新路径集合和sum
        trcak=append(trcak,candidates[i])
        sum+=candidates[i]
        history[i]=true
        //递归
        backtracking(i+1,sum,target,candidates,trcak,res,history)
        //回溯
        trcak=trcak[:len(trcak)-1]
        sum-=candidates[i]
        history[i]=false
    }
}
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不使用used数组

func combinationSum2(candidates []int, target int) [][]int {
    var trcak []int
    var res [][]int
    sort.Ints(candidates)
    backtracking(0,0,target,candidates,trcak,&res)
    return res
}
func backtracking(startIndex,sum,target int,candidates,trcak []int,res *[][]int){
    //终止条件
    if sum==target{
        tmp:=make([]int,len(trcak))
        //拷贝
        copy(tmp,trcak)
        //放入结果集
        *res=append(*res,tmp)
        return
    }
    //回溯
    for i:=startIndex;i<len(candidates) && sum+candidates[i]<=target;i++{
        // 若当前树层有使用过相同的元素,则跳过
        if i>startIndex&&candidates[i]==candidates[i-1]{
                continue
        }
        //更新路径集合和sum
        trcak=append(trcak,candidates[i])
        sum+=candidates[i]
        backtracking(i+1,sum,target,candidates,trcak,res)
        //回溯
        trcak=trcak[:len(trcak)-1]
        sum-=candidates[i]
    }
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# javaScript

/**
 * @param {number[]} candidates
 * @param {number} target
 * @return {number[][]}
 */
var combinationSum2 = function(candidates, target) {
    const res = []; path = [], len = candidates.length;
    candidates.sort();
    backtracking(0, 0);
    return res;
    function backtracking(sum, i) {
        if (sum > target) return;
        if (sum === target) {
            res.push(Array.from(path));
            return;
        }
        let f = -1;
        for(let j = i; j < len; j++) {
            const n = candidates[j];
            if(n > target - sum || n === f) continue;
            path.push(n);
            sum += n;
            f = n;
            backtracking(sum, j + 1);
            path.pop();
            sum -= n;
        }
    }
};
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使用used去重

var combinationSum2 = function(candidates, target) {
    let res = [];
    let path = [];
    let total = 0;
    const len = candidates.length;
    candidates.sort((a, b) => a - b);
    let used = new Array(len).fill(false);
    const backtracking = (startIndex) => {
        if (total === target) {
            res.push([...path]);
            return;
        }
        for(let i = startIndex; i < len && total < target; i++) {
            const cur = candidates[i];
            if (cur > target - total || (i > 0 && cur === candidates[i - 1] && !used[i - 1])) continue;
            path.push(cur);
            total += cur;
            used[i] = true;
            backtracking(i + 1);
            path.pop();
            total -= cur;
            used[i] = false;
        }
    }
    backtracking(0);
    return res;
};
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# C

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
//记录ans中每一个一维数组的大小
int* length;
int cmp(const void* a1, const void* a2) {
    return *((int*)a1) - *((int*)a2);
}

void backTracking(int* candidates, int candidatesSize,  int target, int sum, int startIndex) {
    if(sum >= target) {
        //若sum等于target,复制当前path进入
        if(sum == target) {
            int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
            int j;
            for(j = 0; j < pathTop; j++) {
                tempPath[j] = path[j];
            }
            length[ansTop] = pathTop;
            ans[ansTop++] = tempPath;
        }
        return ;
    }

    int i;
    for(i = startIndex; i < candidatesSize; i++) {
        //对同一层树中使用过的元素跳过
        if(i > startIndex && candidates[i] == candidates[i-1])
            continue;
        path[pathTop++] = candidates[i];
        sum += candidates[i];
        backTracking(candidates, candidatesSize, target, sum, i + 1);
        //回溯
        sum -= candidates[i];
        pathTop--;
    }
}

int** combinationSum2(int* candidates, int candidatesSize, int target, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * 50);
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 100);
    length = (int*)malloc(sizeof(int) * 100);
    pathTop = ansTop = 0;
    //快速排序candidates,让相同元素挨到一起
    qsort(candidates, candidatesSize, sizeof(int), cmp);

    backTracking(candidates, candidatesSize, target, 0, 0);

    *returnSize = ansTop;
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
    int i;
    for(i = 0; i < ansTop; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = length[i];
    }
    return ans;
}
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# Swift

func combinationSum2(_ candidates: [Int], _ target: Int) -> [[Int]] {
    // 为了方便去重复,先对集合排序
    let candidates = candidates.sorted()
    var result = [[Int]]()
    var path = [Int]()
    func backtracking(sum: Int, startIndex: Int) {
        // 终止条件
        if sum == target {
            result.append(path)
            return
        }

        let end = candidates.count
        guard startIndex < end else { return }
        for i in startIndex ..< end {
            if i > startIndex, candidates[i] == candidates[i - 1] { continue } // 去重复
            let sum = sum + candidates[i] // 使用局部变量隐藏回溯
            if sum > target { continue } // 剪枝

            path.append(candidates[i]) // 处理
            backtracking(sum: sum, startIndex: i + 1) // i+1避免重复访问
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }
    backtracking(sum: 0, startIndex: 0)
    return result
}
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上次更新:: 1/4/2022, 10:38:57 AM
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