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# 动态规划:关于完全背包,你该了解这些!

# 完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件

同样leetcode上没有纯完全背包问题,都是需要完全背包的各种应用,需要转化成完全背包问题,所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

在下面的讲解中,我依然举这个例子:

背包最大重量为4。

物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

每件商品都有无限个!

问背包能背的物品最大价值是多少?

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上,所以本文就不去做动规五部曲了,我们直接针对遍历顺序经行分析!

关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了:

首先在回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
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我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,即:

// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
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至于为什么,我在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)中也做了讲解。

dp状态图如下:

动态规划-完全背包

相信很多同学看网上的文章,关于完全背包介绍基本就到为止了。

其实还有一个很重要的问题,为什么遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环?

这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了,大家都默认 遍历物品在外层,遍历背包容量在内层,好像本应该如此一样,那么为什么呢?

难道就不能遍历背包容量在外层,遍历物品在内层?

看过这两篇的话:

就知道了,01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了,一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品,再遍历背包容量。

在完全背包中,对于一维dp数组来说,其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓!

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环,状态如图:

动态规划-完全背包1

遍历背包容量在外层循环,遍历物品在内层循环,状态如图:

动态规划-完全背包2

看了这两个图,大家就会理解,完全背包中,两个for循环的先后循序,都不影响计算dp[j]所需要的值(这个值就是下标j之前所对应的dp[j])。

先遍历被背包在遍历物品,代码如下:

// 先遍历背包,再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}
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# C++测试代码

完整的C++测试代码如下:

// 先遍历物品,在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

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// 先遍历背包,再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

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# 总结

细心的同学可能发现,全文我说的都是对于纯完全背包问题,其for循环的先后循环是可以颠倒的!

但如果题目稍稍有点变化,就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话? 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了,而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

这个区别,我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍,因为这块如果不结合具题目,单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵!

别急,下一篇就是了!哈哈

最后,又可以出一道面试题了,就是纯完全背包,要求先用二维dp数组实现,然后再用一维dp数组实现,最后在问,两个for循环的先后是否可以颠倒?为什么? 这个简单的完全背包问题,估计就可以难住不少候选人了。

# 其他语言版本

Java:

		//先遍历物品,再遍历背包
    private static void testCompletePack(){
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        for (int i = 0; i < weight.length; i++){
            for (int j = 1; j <= bagWeight; j++){
                if (j - weight[i] >= 0){
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }
        for (int maxValue : dp){
            System.out.println(maxValue + "   ");
        }
    }

    //先遍历背包,再遍历物品
    private static void testCompletePackAnotherWay(){
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){
            for (int j = 0; j < weight.length; j++){
                if (i - weight[j] >= 0){
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
                }
            }
        }
        for (int maxValue : dp){
            System.out.println(maxValue + "   ");
        }
    }
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Python:

# 先遍历物品,再遍历背包
def test_complete_pack1():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bag_weight = 4

    dp = [0]*(bag_weight + 1)

    for i in range(len(weight)):
        for j in range(weight[i], bag_weight + 1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    
    print(dp[bag_weight])

# 先遍历背包,再遍历物品
def test_complete_pack2():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bag_weight = 4

    dp = [0]*(bag_weight + 1)

    for j in range(bag_weight + 1):
        for i in range(len(weight)):
            if j >= weight[i]: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    
    print(dp[bag_weight])


if __name__ == '__main__':
    test_complete_pack1()
    test_complete_pack2()
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Go:


// test_CompletePack1 先遍历物品, 在遍历背包
func test_CompletePack1(weight, value []int, bagWeight int) int {
	// 定义dp数组 和初始化
	dp := make([]int, bagWeight+1)
	// 遍历顺序
	for i := 0; i < len(weight); i++ {
		// 正序会多次添加 value[i]
		for j := weight[i]; j <= bagWeight; j++ {
			// 推导公式
			dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
			// debug
			//fmt.Println(dp)
		}
	}
	return dp[bagWeight]
}

// test_CompletePack2 先遍历背包, 在遍历物品
func test_CompletePack2(weight, value []int, bagWeight int) int {
	// 定义dp数组 和初始化
	dp := make([]int, bagWeight+1)
	// 遍历顺序
	// j从0 开始
	for j := 0; j <= bagWeight; j++ {
		for i := 0; i < len(weight); i++ {
			if j >= weight[i] {
				// 推导公式
				dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
			}
			// debug
			//fmt.Println(dp)
		}
	}
	return dp[bagWeight]
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

func main() {
	weight := []int{1, 3, 4}
	price := []int{15, 20, 30}
	fmt.Println(test_CompletePack1(weight, price, 4))
	fmt.Println(test_CompletePack2(weight, price, 4))
}
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Javascript:

// 先遍历物品,再遍历背包容量
function test_completePack1() {
    let weight = [1, 3, 5]
    let value = [15, 20, 30]
    let bagWeight = 4 
    let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
    for(let i = 0; i <= weight.length; i++) {
        for(let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
        }
    }
    console.log(dp)
}

// 先遍历背包容量,再遍历物品
function test_completePack2() {
    let weight = [1, 3, 5]
    let value = [15, 20, 30]
    let bagWeight = 4 
    let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
    for(let j = 0; j <= bagWeight; j++) {
        for(let i = 0; i < weight.length; i++) {
            if (j >= weight[i]) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
            }
        }
    }
    console.log(2, dp);
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