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70. 爬楼梯（进阶版）

卡码网：57. 爬楼梯 (opens new window)

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m

输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。

输入示例：3 2

输出示例：3

提示：

当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。

此时你有三种方法可以爬到楼顶。

• 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
• 1 阶 + 2 阶
• 2 阶 + 1 阶

思路

之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。

这次终于讲到了背包问题，我选择带录友们再爬一次楼梯！

这道题目 我们在动态规划：爬楼梯 (opens new window) 中已经讲过一次了，这次我又给本题加点料，力扣上没有原题，所以可以在卡码网57. 爬楼梯 (opens new window)上来刷这道题目。

我们之前做的 爬楼梯 是只能至多爬两个台阶。

这次改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

这又有难度了，这其实是一个完全背包问题。

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

和昨天的题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)基本就是一道题了。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2. 确定递推公式

在动态规划：494.目标和 (opens new window) 、 动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3. dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4. 确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5. 举例来推导dp数组

介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。

以上分析完毕，C++代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n, m;
    while (cin >> n >> m) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        cout << dp[n] << endl;
    }
}

• 时间复杂度: O(n * m)
• 空间复杂度: O(n)

代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是 力扣：70.爬楼梯的解题思路。

当然注意 力扣是 核心代码模式，卡码网是ACM模式

总结

本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！

如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。

顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。

这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。

这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。

本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！

其他语言版本

Java:

import java.util.Scanner;
class climbStairs{
    public static void main(String [] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m, n;
        while (sc.hasNextInt()) {
            // 从键盘输入参数，中间用空格隔开
            n = sc.nextInt();
            m = sc.nextInt();

            // 求排列问题，先遍历背包再遍历物品
            int[] dp = new int[n + 1];
            dp[0] = 1;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                for (int i = 1; i <= m; i++) {
                    if (j - i >= 0) dp[j] += dp[j - i];
                }
            }
            System.out.println(dp[n]);
        }
    }
}

Python3：

def climbing_stairs(n,m):
    dp = [0]*(n+1) # 背包总容量
    dp[0] = 1 
    # 排列题，注意循环顺序，背包在外物品在内
    for j in range(1,n+1):
        for i in range(1,m+1):
            if j>=i:
                dp[j] += dp[j-i] # 这里i就是重量而非index
    return dp[n]

if __name__ == '__main__':
    n,m = list(map(int,input().split(' ')))
    print(climbing_stairs(n,m))

Go：

package main

import (
	"bufio"
	"fmt"
	"os"
	"strconv"
	"strings"
)

func climbStairs(n int, m int) int {
    dp := make([]int, n+1)
    dp[0] = 1   
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 1; j <= m; j++ {
            if i-j >= 0 {
                dp[i] += dp[i-j]
            }
        }
    }   
    return dp[n]
}

func main() {
    // 读取输入n,m
    reader := bufio.NewReader(os.Stdin)
    input, _ := reader.ReadString('\n')
    input = strings.TrimSpace(input)
    nv := strings.Split(input, " ")
    n, _ := strconv.Atoi(nv[0])
    m, _ := strconv.Atoi(nv[1]) 
    result := climbStairs(n, m)
    fmt.Println(result)
}

JavaScript:

var climbStairs = function (n) {
  let dp = new Array(n + 1).fill(0);
  dp[0] = 1;
  // 排列题，注意循环顺序，背包在外物品在内
   for (let j = 1; j <= n; j++) {//遍历背包
    for (let i = 1; i <= 2; i++) {//遍历物品
     if (j - i >= 0) dp[j] = dp[j] + dp[j - i];
    }
  }
  return dp[n];
}

TypeScript：

var climbStairs = function (n: number): number {
    let dp: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    for (let j = 1; j <= n; j++) {//遍历背包
        for (let i = 1; i <= 2; i++) {//遍历物品
            if (j - i >= 0) dp[j] = dp[j] + dp[j - i];
        }
    }
    return dp[n];
}

Rust: