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# 39. 组合总和

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ,找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明:

  • 所有数字(包括 target)都是正整数。
  • 解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入:candidates = [2,3,6,7], target = 7, 所求解集为: [ [7], [2,2,3] ]

示例 2: 输入:candidates = [2,3,5], target = 8, 所求解集为: [   [2,2,2,2],   [2,3,3],   [3,5] ]

# 思路

B站视频讲解-组合总和 (opens new window)

题目中的无限制重复被选取,吓得我赶紧想想 出现0 可咋办,然后看到下面提示:1 <= candidates[i] <= 200,我就放心了。

本题和回溯算法:求组合问题! (opens new window)回溯算法:求组合总和! (opens new window)和区别是:本题没有数量要求,可以无限重复,但是有总和的限制,所以间接的也是有个数的限制。

本题搜索的过程抽象成树形结构如下:

39.组合总和 注意图中叶子节点的返回条件,因为本题没有组合数量要求,仅仅是总和的限制,所以递归没有层数的限制,只要选取的元素总和超过target,就返回!

而在回溯算法:求组合问题! (opens new window)回溯算法:求组合总和! (opens new window) 中都可以知道要递归K层,因为要取k个元素的组合。

# 回溯三部曲

  • 递归函数参数

这里依然是定义两个全局变量,二维数组result存放结果集,数组path存放符合条件的结果。(这两个变量可以作为函数参数传入)

首先是题目中给出的参数,集合candidates, 和目标值target。

此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和,其实这个sum也可以不用,用target做相应的减法就可以了,最后如何target==0就说明找到符合的结果了,但为了代码逻辑清晰,我依然用了sum。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置,对于组合问题,什么时候需要startIndex呢?

我举过例子,如果是一个集合来求组合的话,就需要startIndex,例如:回溯算法:求组合问题! (opens new window)回溯算法:求组合总和! (opens new window)

如果是多个集合取组合,各个集合之间相互不影响,那么就不用startIndex,例如:回溯算法:电话号码的字母组合 (opens new window)

注意以上我只是说求组合的情况,如果是排列问题,又是另一套分析的套路,后面我再讲解排列的时候就重点介绍

代码如下:

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)
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  • 递归终止条件

在如下树形结构中:

39.组合总和

从叶子节点可以清晰看到,终止只有两种情况,sum大于target和sum等于target。

sum等于target的时候,需要收集结果,代码如下:

if (sum > target) {
    return;
}
if (sum == target) {
    result.push_back(path);
    return;
}
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  • 单层搜索的逻辑

单层for循环依然是从startIndex开始,搜索candidates集合。

注意本题和回溯算法:求组合问题! (opens new window)回溯算法:求组合总和! (opens new window)的一个区别是:本题元素为可重复选取的

如何重复选取呢,看代码,注释部分:

for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
    sum += candidates[i];
    path.push_back(candidates[i]);
    backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了,表示可以重复读取当前的数
    sum -= candidates[i];   // 回溯
    path.pop_back();        // 回溯
}
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按照关于回溯算法,你该了解这些! (opens new window)中给出的模板,不难写出如下C++完整代码:

// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了,表示可以重复读取当前的数
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};
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# 剪枝优化

在这个树形结构中:

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以及上面的版本一的代码大家可以看到,对于sum已经大于target的情况,其实是依然进入了下一层递归,只是下一层递归结束判断的时候,会判断sum > target的话就返回。

其实如果已经知道下一层的sum会大于target,就没有必要进入下一层递归了。

那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。

对总集合排序之后,如果下一层的sum(就是本层的 sum + candidates[i])已经大于target,就可以结束本轮for循环的遍历

如图:

39.组合总和1

for循环剪枝代码如下:

for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)
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整体代码如下:(注意注释的部分)

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};
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# 总结

本题和我们之前讲过的回溯算法:求组合问题! (opens new window)回溯算法:求组合总和! (opens new window)有两点不同:

  • 组合没有数量要求
  • 元素可无限重复选取

针对这两个问题,我都做了详细的分析。

并且给出了对于组合问题,什么时候用startIndex,什么时候不用,并用回溯算法:电话号码的字母组合 (opens new window)做了对比。

最后还给出了本题的剪枝优化,这个优化如果是初学者的话并不容易想到。

在求和问题中,排序之后加剪枝是常见的套路!

可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章,就是要不断作对比,分析其差异,然后给出代码解决的方法,这样才能彻底理解题目的本质与难点。

# 其他语言版本

Java:

// 剪枝优化
class Solution {
    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates); // 先进行排序
        backtracking(res, new ArrayList<>(), candidates, target, 0, 0);
        return res;
    }

    public void backtracking(List<List<Integer>> res, List<Integer> path, int[] candidates, int target, int sum, int idx) {
        // 找到了数字和为 target 的组合
        if (sum == target) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (int i = idx; i < candidates.length; i++) {
            // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
            if (sum + candidates[i] > target) break;
            path.add(candidates[i]);
            backtracking(res, path, candidates, target, sum + candidates[i], i);
            path.remove(path.size() - 1); // 回溯,移除路径 path 最后一个元素
        }
    }
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Python:

class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        res = []
        path = []
        def backtrack(candidates,target,sum,startIndex):
            if sum > target: return 
            if sum == target: return res.append(path[:])
            for i in range(startIndex,len(candidates)):
                if sum + candidates[i] >target: return  #如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
                sum += candidates[i] 
                path.append(candidates[i])
                backtrack(candidates,target,sum,i)  #startIndex = i:表示可以重复读取当前的数
                sum -= candidates[i]  #回溯
                path.pop()  #回溯
        candidates = sorted(candidates)  #需要排序
        backtrack(candidates,target,0,0)
        return res
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Go:

主要在于递归中传递下一个数字

func combinationSum(candidates []int, target int) [][]int {
    var trcak []int
    var res [][]int
    backtracking(0,0,target,candidates,trcak,&res)
    return res
}
func backtracking(startIndex,sum,target int,candidates,trcak []int,res *[][]int){
    //终止条件
    if sum==target{
        tmp:=make([]int,len(trcak))
        copy(tmp,trcak)//拷贝
        *res=append(*res,tmp)//放入结果集
        return
    }
    if sum>target{return}
    //回溯
    for i:=startIndex;i<len(candidates);i++{
        //更新路径集合和sum
        trcak=append(trcak,candidates[i])
        sum+=candidates[i]
        //递归
        backtracking(i,sum,target,candidates,trcak,res)
        //回溯
        trcak=trcak[:len(trcak)-1]
        sum-=candidates[i]
    }

}
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JavaScript:

var combinationSum = function(candidates, target) {
    const res = [], path = [];
    candidates.sort(); // 排序
    backtracking(0, 0);
    return res;
    function backtracking(j, sum) {
        if (sum > target) return;
        if (sum === target) {
            res.push(Array.from(path));
            return;
        }
        for(let i = j; i < candidates.length; i++ ) {
            const n = candidates[i];
            if(n > target - sum) continue;
            path.push(n);
            sum += n;
            backtracking(i, sum);
            path.pop();
            sum -= n;
        }
    }
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