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# 动态规划:目标和!

# 494. 目标和

力扣题目链接 (opens new window)

难度:中等

给定一个非负整数数组,a1, a2, ..., an, 和一个目标数,S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数,你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例:

输入:nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出:5

解释:
-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示:

  • 数组非空,且长度不会超过 20 。
  • 初始的数组的和不会超过 1000 。
  • 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

# 思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇:

如果跟着「代码随想录」一起学过回溯算法系列 (opens new window)的录友,看到这道题,应该有一种直觉,就是感觉好像回溯法可以爆搜出来。

事实确实如此,下面我也会给出相应的代码,只不过会超时,哈哈。

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

本题要如何使表达式结果为target,

既然为target,那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right等于sum,而sum是固定的。

公式来了, left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2 。

target是固定的,sum是固定的,left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

# 回溯算法

在回溯算法系列中,一起学过这道题目回溯算法:39. 组合总和 (opens new window)的录友应该感觉很熟悉,这不就是组合总和问题么?

此时可以套组合总和的回溯法代码,几乎不用改动。

当然,也可以转变成序列区间选+ 或者 -,使用回溯法,那就是另一个解法。

我也把代码给出来吧,大家可以了解一下,回溯的解法,以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案,两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题,bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};
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当然以上代码超时了。

也可以使用记忆化回溯,但这里我就不在回溯上下功夫了,直接看动规吧

# 动态规划

如何转化为01背包问题呢。

假设加法的总和为x,那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = S

x = (S + sum) / 2

此时问题就转化为,装满容量为x背包,有几种方法

大家看到(S + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了,例如sum 是5,S是2的话其实就是无解的,所以:

if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
1

同时如果 S的绝对值已经大于sum,那么也是没有方案的。

if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
1

再回归到01背包问题,为什么是01背包呢?

因为每个物品(题目中的1)只用一次!

这次和之前遇到的背包问题不一样了,之前都是求容量为j的背包,最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j] 表示:填满j(包括j)这么大容积的包,有dp[i]种方法

其实也可以使用二维dp数组来求解本题,dp[i][j]:使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j(包括j)这么大容量的包,有dp[i][j]种方法。

下面我都是统一使用一维数组进行讲解, 二维降为一维(滚动数组),其实就是上一层拷贝下来,这个我在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)也有介绍。

  1. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢?

不考虑nums[i]的情况下,填满容量为j - nums[i]的背包,有dp[j - nums[i]]种方法。

那么只要搞到nums[i]的话,凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

举一个例子,nums[i] = 2: dp[3],填满背包容量为3的话,有dp[3]种方法。

那么只需要搞到一个2(nums[i]),有dp[3]方法可以凑齐容量为3的背包,相应的就有多少种方法可以凑齐容量为5的背包。

那么需要把 这些方法累加起来就可以了,dp[j] += dp[j - nums[i]]

所以求组合类问题的公式,都是类似这种:

dp[j] += dp[j - nums[i]]
1

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到!

  1. dp数组如何初始化

从递归公式可以看出,在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1,因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源,如果dp[0]是0的话,递归结果将都是0。

dp[0] = 1,理论上也很好解释,装满容量为0的背包,有1种方法,就是装0件物品。

dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0,从递归公式也可以看出,dp[j]要保证是0的初始值,才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

  1. 确定遍历顺序

动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)中,我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历,nums放在外循环,target在内循环,且内循环倒序。

  1. 举例推导dp数组

输入:nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下:

494.目标和

C++代码如下:

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

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  • 时间复杂度O(n * m),n为正数个数,m为背包容量
  • 空间复杂度:O(m) m为背包容量

# 总结

此时 大家应该不仅想起,我们之前讲过的回溯算法:39. 组合总和 (opens new window)是不是应该也可以用dp来做啊?

是的,如果仅仅是求个数的话,就可以用dp,但回溯算法:39. 组合总和 (opens new window)要求的是把所有组合列出来,还是要使用回溯法爆搜的。

本题还是有点难度,大家也可以记住,在求装满背包有几种方法的情况下,递推公式一般为:

dp[j] += dp[j - nums[i]];
1

后面我们在讲解完全背包的时候,还会用到这个递推公式!

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
        if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
        int size = (target + sum) / 2;
        if(size < 0) size = -size;
        int[] dp = new int[size + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = size; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[size];
    }
}
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Python:

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        sumValue = sum(nums)
        if target > sumValue or (sumValue + target) % 2 == 1: return 0
        bagSize = (sumValue + target) // 2
        dp = [0] * (bagSize + 1)
        dp[0] = 1
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(bagSize, nums[i] - 1, -1):
                dp[j] += dp[j - nums[i]]
        return dp[bagSize]
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Go:

func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
	sum := 0
	for _, v := range nums {
		sum += v
	}
	if target > sum {
		return 0
	}
	if (sum+target)%2 == 1 {
		return 0
	}
	// 计算背包大小
	bag := (sum + target) / 2
	// 定义dp数组
	dp := make([]int, bag+1)
	// 初始化
	dp[0] = 1
	// 遍历顺序
	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		for j := bag; j >= nums[i]; j-- {
			//推导公式
			dp[j] += dp[j-nums[i]]
			//fmt.Println(dp)
		}
	}
	return dp[bag]
}
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Javascript:

const findTargetSumWays = (nums, target) => {

    const sum = nums.reduce((a, b) => a+b);
    
    if(target > sum) {
        return 0;
    }

    if((target + sum) % 2) {
        return 0;
    }

    const halfSum = (target + sum) / 2;
    nums.sort((a, b) => a - b);

    let dp = new Array(halfSum+1).fill(0);
    dp[0] = 1;

    for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
        for(let j = halfSum; j >= nums[i]; j--) {
            dp[j] += dp[j - nums[i]];
        }
    }

    return dp[halfSum];
};
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