# 本周小结！（动态规划系列三）

本周我们正式开始讲解背包问题，也是动规里非常重要的一类问题。

背包问题其实有很多细节，如果了解个大概，然后也能一气呵成把代码写出来，但稍稍变变花样可能会陷入迷茫了。

开始回顾一下本周的内容吧！

# 周一

动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中，我们开始介绍了背包问题。

首先对于背包的所有问题中，01背包是最最基础的，其他背包也是在01背包的基础上稍作变化。

所以我才花费这么大精力去讲解01背包。

关于其他几种常用的背包，大家看这张图就了然于胸了：

416.分割等和子集1

本文用动规五部曲详细讲解了01背包的二维dp数组的实现方法，大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在确定初始化和遍历顺序上。

确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

确定递推公式

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

dp数组如何初始化

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size() + 1, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}

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确定遍历顺序

01背包二维dp数组在遍历顺序上，外层遍历物品，内层遍历背包容量和外层遍历背包容量，内层遍历物品都是可以的！

但是先遍历物品更好理解。代码如下：

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

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举例推导dp数组

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

动态规划-背包问题4

最终结果就是dp[2][4]。

# 周二

动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中把01背包的一维dp数组（滚动数组）实现详细讲解了一遍。

分析一下和二维dp数组有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异？

最后总结了一道朴实无华的背包面试题。

要求候选人先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？

这几个问题就可以考察出候选人的算法功底了。

01背包一维数组分析如下：

确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

一维dp数组的递推公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

一维dp数组如何初始化

如果物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}