本周小结！（动态规划系列二）

周一

动态规划：不同路径 (opens new window)中求从出发点到终点有几种路径，只能向下或者向右移动一步。

我们提供了三种方法，但重点讲解的还是动规，也是需要重点掌握的。

dp[i][j]定义 ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

本题在初始化的时候需要点思考了，即：

dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

所以初始化为：

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

这里已经不像之前做过的题目，随便赋个0就行的。

遍历顺序以及递推公式：

for (int i = 1; i < m; i++) {
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
}

周二

动态规划：不同路径还不够，要有障碍！ (opens new window)相对于动态规划：不同路径 (opens new window)添加了障碍。

dp[i][j]定义依然是：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

本题难点在于初始化，如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。

如图：

这里难住了不少同学，代码如下：

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;

递推公式只要考虑一下障碍，就不赋值了就可以了，如下：

for (int i = 1; i < m; i++) {
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
}

拿示例1来举例如题：

对应的dp table 如图：

周三

动态规划：整数拆分，你要怎么拆？ (opens new window)给出一个整数，问有多少种拆分的方法。

这道题目就有点难度了，题目中dp我也给出了两种方法，但通过两种方法的比较可以看出，对dp数组定义的理解，以及dp数组初始化的重要性。

dp[i]定义：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

本题中dp[i]的初始化其实也很有考究，严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少？

这是无解的。

所以题解里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

vector<int> dp(n + 1);
dp[2] = 1;

遍历顺序以及递推公式：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

一些录友可能对为什么没有拆分j没有想清楚。

其实可以模拟一下哈，拆分j的情况，在遍历j的过程中dp[i - j]其实都计算过了。

例如 i= 10，j = 5，i-j = 5，如果把j拆分为 2 和 3，其实在j = 2 的时候，i-j= 8 ，拆分i-j的时候就可以拆出来一个3了。

或者也可以理解j是拆分i的第一个整数。

动态规划：整数拆分，你要怎么拆？ (opens new window)总结里，我也给出了递推公式dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j])这种写法。

对于这种写法，一位录友总结的很好，意思就是：如果递推公式是dp[i-j] * dp[j]，这样就相当于强制把一个数至少拆分成四份。

dp[i-j]至少是两个数的乘积，dp[j]又至少是两个数的乘积，但其实3以下的数，数的本身比任何它的拆分乘积都要大了，所以文章中初始化的时候才要特殊处理。

周四

动态规划：不同的二叉搜索树 (opens new window)给出n个不同的节点求能组成多少个不同二叉搜索树。

这道题目还是比较难的，想到用动态规划的方法就很不容易了！

dp[i]定义 ：1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

dp数组如何初始化：只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。

n为5时候的dp数组状态如图：

总结

本周题目已经开始点难度了，特别是动态规划：不同的二叉搜索树 (opens new window)这道题目，明显感觉阅读量很低，可能是因为确实有点难吧。

我现在也陷入了纠结，题目一简单，就会有录友和我反馈说题目太简单了，题目一难，阅读量就特别低。

但我还会坚持规划好的路线，难度循序渐进，并以面试经典题目为准，该简单的时候就是简单，同时也不会因为阅读量低就放弃有难度的题目！。