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# 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)

昨天动态规划:关于01背包问题,你该了解这些! (opens new window)中是用二维dp数组来讲解01背包。

今天我们就来说一说滚动数组,其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了,就是把二维dp降为一维dp,一些录友当时还表示比较困惑。

那么我们通过01背包,来彻底讲一讲滚动数组!

接下来还是用如下这个例子来进行讲解

背包最大重量为4。

物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

问背包能背的物品最大价值是多少?

# 一维dp数组(滚动数组)

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。

这就是滚动数组的由来,需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。

读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了,i是物品,j是背包容量。

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

一定要时刻记住这里i和j的含义,要不然很容易看懵了。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

  1. 一维dp数组的递推公式

dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值,那么如何推导dp[j]呢?

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来,dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。(也就是容量为j的背包,放入物品i了之后的价值即:dp[j])

此时dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i,一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值,

所以递归公式为:

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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可以看出相对于二维dp数组的写法,就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

  1. 一维dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?

看一下递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖了

那么我假设物品价值都是大于0的,所以dp数组初始化的时候,都初始为0就可以了。

  1. 一维dp数组遍历顺序

代码如下:

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
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这里大家发现和二维dp的写法中,遍历背包的顺序是不一样的!

二维dp遍历的时候,背包容量是从小到大,而一维dp遍历的时候,背包是从大到小。

为什么呢?

倒叙遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!

举一个例子:物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了,意味着物品0,被放入了两次,所以不能正序遍历。

为什么倒叙遍历,就可以保证物品只放入一次呢?

倒叙就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 (dp数组已经都初始化为0)

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环,每次取得状态不会和之前取得状态重合,这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了,为什么二维dp数组历的时候不用倒叙呢?

因为对于二维dp,dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来,本层的dp[i][j]并不会被覆盖!

(如何这里读不懂,大家就要动手试一试了,空想还是不靠谱的,实践出真知!)

再来看看两个嵌套for循环的顺序,代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量,那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢?

不可以!

因为一维dp的写法,背包容量一定是要倒序遍历(原因上面已经讲了),如果遍历背包容量放在上一层,那么每个dp[j]就只会放入一个物品,即:背包里只放入了一个物品。

(这里如果读不懂,就在回想一下dp[j]的定义,或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试!)

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的!,这一点大家一定要注意。

  1. 举例推导dp数组

一维dp,分别用物品0,物品1,物品2 来遍历背包,最终得到结果如下:

动态规划-背包问题9

# 一维dp01背包完整C++测试代码

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

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可以看出,一维dp 的01背包,要比二维简洁的多! 初始化 和 遍历顺序相对简单了。

所以我倾向于使用一维dp数组的写法,比较直观简洁,而且空间复杂度还降了一个数量级!

在后面背包问题的讲解中,我都直接使用一维dp数组来进行推导

# 总结

以上的讲解可以开发一道面试题目(毕竟力扣上没原题)。

就是本文中的题目,要求先实现一个纯二维的01背包,如果写出来了,然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写?反过来写行不行?再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包,最后再问,一维数组的01背包,两个for循环的顺序反过来写行不行?为什么?

注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。

就是纯01背包的题目,都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。

相信大家读完这篇文章,应该对以上问题都有了答案!

此时01背包理论基础就讲完了,我用了两篇文章把01背包的dp数组定义、递推公式、初始化、遍历顺序从二维数组到一维数组统统深度剖析了一遍,没有放过任何难点。

大家可以发现其实信息量还是挺大的。

如果把动态规划:关于01背包问题,你该了解这些! (opens new window)和本篇的内容都理解了,后面我们在做01背包的题目,就会发现非常简单了。

不用再凭感觉或者记忆去写背包,而是有自己的思考,了解其本质,代码的方方面面都在自己的掌控之中。

即使代码没有通过,也会有自己的逻辑去debug,这样就思维清晰了。

接下来就要开始用这两天的理论基础去做力扣上的背包面试题目了,录友们握紧扶手,我们要上高速啦!

# 其他语言版本

Java:

    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {15, 20, 30};
        int bagWight = 4;
        testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);
    }

    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){
        int wLen = weight.length;
        //定义dp数组:dp[j]表示背包容量为j时,能获得的最大价值
        int[] dp = new int[bagWeight + 1];
        //遍历顺序:先遍历物品,再遍历背包容量
        for (int i = 0; i < wLen; i++){
            for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        //打印dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){
            System.out.print(dp[j] + " ");
        }
    }
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Python:

def test_1_wei_bag_problem():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bag_weight = 4
    # 初始化: 全为0
    dp = [0] * (bag_weight + 1)

    # 先遍历物品, 再遍历背包容量
    for i in range(len(weight)):
        for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):
            # 递归公式
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

    print(dp)

test_1_wei_bag_problem()
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Go:

func test_1_wei_bag_problem(weight, value []int, bagWeight int) int {
	// 定义 and 初始化
	dp := make([]int,bagWeight+1)
	// 递推顺序
	for i := 0 ;i < len(weight) ; i++ {
		// 这里必须倒序,区别二维,因为二维dp保存了i的状态
		for j:= bagWeight; j >= weight[i] ; j-- {
			// 递推公式
			dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
		}
	}
	//fmt.Println(dp)
	return dp[bagWeight]
}

func max(a,b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}


func main() {
	weight := []int{1,3,4}
	value := []int{15,20,30}
	test_1_wei_bag_problem(weight,value,4)
}
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javaScript:


function testWeightBagProblem(wight, value, size) {
  const len = wight.length, 
    dp = Array(size + 1).fill(0);
  for(let i = 1; i <= len; i++) {
    for(let j = size; j >= wight[i - 1]; j--) {
      dp[j] = Math.max(dp[j], value[i - 1] + dp[j - wight[i - 1]]);
    }
  }
  return dp[size];
}


function test () {
  console.log(testWeightBagProblem([1, 3, 4, 5], [15, 20, 30, 55], 6));
}

test();
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