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# 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!

这周我们正式开始讲解背包问题!

背包问题的经典资料当然是:背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复:背包九讲,就可以获得背包九讲的PDF。

但说实话,背包九讲对于小白来说确实不太友好,看起来还是有点费劲的,而且都是伪代码理解起来也吃力。

对于面试的话,其实掌握01背包,和完全背包,就够用了,最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包,分不清,我这里画了一个图,如下:

416.分割等和子集1

至于背包九讲其其他背包,面试几乎不会问,都是竞赛级别的了,leetcode上连多重背包的题目都没有,所以题库也告诉我们,01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来,即:完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包,一定要理解透!

leetcode上没有纯01背包的问题,都是01背包应用方面的题目,也就是需要转化为01背包问题。

所以我先通过纯01背包问题,把01背包原理讲清楚,后续再讲解leetcode题目的时候,重点就是讲解如何转化为01背包问题了

之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了,但只要把这个文章仔细看完,相信你会意外收获!

# 01 背包

有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划-背包问题

这是标准的背包问题,以至于很多同学看了这个自然就会想到背包,甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考,而是习惯性想到了背包,那么暴力的解法应该是怎么样的呢?

每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是O(2^n),这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!

在下面的讲解中,我举一个例子:

背包最大重量为4。

物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

问背包能背的物品最大价值是多少?

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

# 二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

  1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

只看这个二维数组的定义,大家一定会有点懵,看下面这个图:

动态规划-背包问题1

要时刻记着这个dp数组的含义,下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的,如果哪里看懵了,就来回顾一下i代表什么,j又代表什么。

  1. 确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义:从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j],

  • 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以被背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

  1. dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。如图:

动态规划-背包问题2

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来,那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下:

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步,如果把dp数组预先初始化为0了,这一步就可以省略,但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
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此时dp数组初始化情况如图所示:

动态规划-背包问题7

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了,那么其他下标应该初始化多少呢?

其实从递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是又左上方数值推导出来了,那么 其他下标初始为什么数值都可以,因为都会被覆盖。

初始-1,初始-2,初始100,都可以!

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0,更方便一些。

如图:

动态规划-背包问题10

最后初始化代码如下:

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagWeight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

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费了这么大的功夫,才把如何初始化讲清楚,相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的,但有时候感觉是不靠谱的

  1. 确定遍历顺序

在如下图中,可以看出,有两个遍历的维度:物品与背包重量

动态规划-背包问题3

那么问题来了,先遍历 物品还是先遍历背包重量呢?

其实都可以!! 但是先遍历物品更好理解

那么我先给出先遍历物品,然后遍历背包重量的代码。

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
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先遍历背包,再遍历物品,也是可以的!(注意我这里使用的二维dp数组)

例如这样:

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
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为什么也是可以的呢?

要理解递归的本质和递推的方向

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向(包括正上方向),那么先遍历物品,再遍历背包的过程如图所示:

动态规划-背包问题5

再来看看先遍历背包,再遍历物品呢,如图:

动态规划-背包问题6

大家可以看出,虽然两个for循环遍历的次序不同,但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角,根本不影响dp[i][j]公式的推导!

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

其实背包问题里,两个for循环的先后循序是非常有讲究的,理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了

  1. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值,如图:

动态规划-背包问题4

最终结果就是dp[2][4]。

建议大家此时自己在纸上推导一遍,看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

做动态规划的题目,最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下,然后在动手写代码!

很多同学做dp题目,遇到各种问题,然后凭感觉东改改西改改,怎么改都不对,或者稀里糊涂就改过了。

主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程,如果推导明白了,代码写出来就算有问题,只要把dp数组打印出来,对比一下和自己推导的有什么差异,很快就可以发现问题了。

# 完整C++测试代码

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagWeight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

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# 总结

讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完,这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了,推导公式估计看一遍就记下来了,但难就难在如何初始化和遍历顺序上

可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性,我们后面做力扣上背包面试题目的时候,大家就会感受出来了。

下一篇 还是理论基础,我们再来讲一维dp数组实现的01背包(滚动数组),分析一下和二维有什么区别,在初始化和遍历顺序上又有什么差异,敬请期待!

# 其他语言版本

Java:

    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {15, 20, 30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight, value, bagSize);
    }

    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){
        int wLen = weight.length, value0 = 0;
        //定义dp数组:dp[i][j]表示背包容量为j时,前i个物品能获得的最大价值
        int[][] dp = new int[wLen + 1][bagSize + 1];
        //初始化:背包容量为0时,能获得的价值都为0
        for (int i = 0; i <= wLen; i++){
            dp[i][0] = value0;
        }
        //遍历顺序:先遍历物品,再遍历背包容量
        for (int i = 1; i <= wLen; i++){
            for (int j = 1; j <= bagSize; j++){
                if (j < weight[i - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
                }
            }
        }
        //打印dp数组
        for (int i = 0; i <= wLen; i++){
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++){
                System.out.print(dp[i][j] + " ");
            }
            System.out.print("\n");
        }
    }
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Python:

def test_2_wei_bag_problem1(bag_size, weight, value) -> int: 
	rows, cols = len(weight), bag_size + 1
	dp = [[0 for _ in range(cols)] for _ in range(rows)]
	res = 0
    
	# 初始化dp数组. 
	for i in range(rows): 
		dp[i][0] = 0
	first_item_weight, first_item_value = weight[0], value[0]
	for j in range(1, cols): 	
		if first_item_weight <= j: 
			dp[0][j] = first_item_value

	# 更新dp数组: 先遍历物品, 再遍历背包. 
	for i in range(1, len(weight)): 
		cur_weight, cur_val = weight[i], value[i]
		for j in range(1, cols): 
			if cur_weight > j: # 说明背包装不下当前物品. 
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] # 所以不装当前物品. 
			else: 
				# 定义dp数组: dp[i][j] 前i个物品里,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - cur_weight]+ cur_val)
				if dp[i][j] > res: 
					res = dp[i][j]

	print(dp)


if __name__ == "__main__": 
	bag_size = 4
	weight = [1, 3, 4]
	value = [15, 20, 30]
	test_2_wei_bag_problem1(bag_size, weight, value)
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Go:

func test_2_wei_bag_problem1(weight, value []int, bagWeight int) int {
	// 定义dp数组
	dp := make([][]int, len(weight))
	for i, _ := range dp {
		dp[i] = make([]int, bagWeight+1)
	}
	// 初始化
	for j := bagWeight; j >= weight[0]; j-- {
		dp[0][j] = dp[0][j-weight[0]] + value[0]
	}
	// 递推公式
	for i := 1; i < len(weight); i++ {
		//正序,也可以倒序
		for  j := weight[i];j<= bagWeight ; j++ {
			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
		}		
	}
	return dp[len(weight)-1][bagWeight]
}

func max(a,b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

func main() {
	weight := []int{1,3,4}
	value := []int{15,20,30}
	test_2_wei_bag_problem1(weight,value,4)
}
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javaScript:

function testWeightBagProblem (wight, value, size) {
  const len = wight.length, 
    dp = Array.from({length: len + 1}).map(
      () => Array(size + 1).fill(0)
    );
  
  for(let i = 1; i <= len; i++) {
    for(let j = 0; j <= size; j++) {
      if(wight[i - 1] <= j) {
        dp[i][j] = Math.max(
          dp[i - 1][j], 
          value[i - 1] + dp[i - 1][j - wight[i - 1]]
        )
      } else {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
      }
    }
  }

//   console.table(dp);

  return dp[len][size];
}

function testWeightBagProblem2 (wight, value, size) {
  const len = wight.length, 
    dp = Array(size + 1).fill(0);
  for(let i = 1; i <= len; i++) {
    for(let j = size; j >= wight[i - 1]; j--) {
      dp[j] = Math.max(dp[j], value[i - 1] + dp[j - wight[i - 1]]);
    }
  }
  return dp[size];
}


function test () {
  console.log(testWeightBagProblem([1, 3, 4, 5], [15, 20, 30, 55], 6));
}

test();
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