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# 416. 分割等和子集

力扣题目链接 (opens new window)

题目难易:中等

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1: 输入: [1, 5, 11, 5] 输出: true 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2: 输入: [1, 2, 3, 5] 输出: false 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示:

  • 1 <= nums.length <= 200
  • 1 <= nums[i] <= 100

# 思路

这道题目初步看,是如下两题几乎是一样的,大家可以用回溯法,解决如下两题

  • 698.划分为k个相等的子集
  • 473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和,就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的,但最后超时了,也不想再优化了,放弃回溯,直接上01背包吧。

如果对01背包不够了解,建议仔细看完如下两篇:

# 01背包问题

背包问题,大家都知道,有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式,常见的有:01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包,而只能放入一次是01背包,写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包,因为元素我们只能用一次。

回归主题:首先,本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题,看看背包问题如果来解决。

只有确定了如下四点,才能把01背包问题套到本题上来。

  • 背包的体积为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
  • 背包如何正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完,我们就可以套用01背包,来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中,dp[i] 表示: 容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

套到本题,dp[i]表示 背包总容量是i,最大可以凑成i的子集总和为dp[i]

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题,相当于背包里放入数值,那么物品i的重量是nums[i],其价值也是nums[i]。

所以递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

  1. dp数组如何初始化

在01背包,一维dp如何初始化,已经讲过,

从dp[j]的定义来看,首先dp[0]一定是0。

如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了,如果题目给的价值有负数,那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖了

本题题目中 只包含正整数的非空数组,所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下:

// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);
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  1. 确定遍历顺序

动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)中就已经说明:如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒叙遍历!

代码如下:

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}
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  1. 举例推导dp数组

dp[i]的数值一定是小于等于i的。

如果dp[i] == i 说明,集合中的子集总和正好可以凑成总和i,理解这一点很重要。

用例1,输入[1,5,11,5] 为例,如图:

416.分割等和子集2

最后dp[11] == 11,说明可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

综上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n),虽然dp数组大小为一个常数,但是大常数

# 总结

这道题目就是一道01背包应用类的题目,需要我们拆解题目,然后套入01背包的场景。

01背包相对于本题,主要要理解,题目中物品是nums[i],重量是nums[i],价值也是nums[i],背包体积是sum/2。

看代码的话,就可以发现,基本就是按照01背包的写法来的。

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0) return false;
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for(int num : nums){
            sum += num;
        }
        //总和为奇数,不能平分
        if(sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum / 2;
        int[] dp = new int[target + 1];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
                //物品 i 的重量是 nums[i],其价值也是 nums[i]
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        return dp[target] == target;
    }
}
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Python:

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        taraget = sum(nums)
        if taraget % 2 == 1: return False
        taraget //= 2
        dp = [0] * 10001
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(taraget, nums[i] - 1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
        return taraget == dp[taraget]
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Go:

// 分割等和子集 动态规划
// 时间复杂度O(n^2) 空间复杂度O(n)
func canPartition(nums []int) bool {
    sum := 0
    for _, num := range nums {
        sum += num
    }
    // 如果 nums 的总和为奇数则不可能平分成两个子集
    if sum % 2 == 1 {
        return false
    }
    
    target := sum / 2
    dp := make([]int, target + 1)

    for _, num := range nums {
        for j := target; j >= num; j-- {
            if dp[j] < dp[j - num] + num {
                dp[j] = dp[j - num] + num
            }
        }
    }
    return dp[target] == target
}
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func canPartition(nums []int) bool {
    /**
    动态五部曲:
        1.确定dp数组和下标含义
        2.确定递推公式
        3.dp数组初始化
        4.dp遍历顺序
        5.打印
    **/
    //确定和
    var sum int
    for _,v:=range nums{
        sum+=v
    }
    if sum%2!=0{   //如果和为奇数,则不可能分成两个相等的数组
        return false
    }
    sum/=2
    //确定dp数组和下标含义
    var dp [][]bool //dp[i][j] 表示: 前i个石头是否总和不大于J
    //初始化数组
    dp=make([][]bool,len(nums)+1)
    for i,_:=range dp{
        dp[i]=make([]bool,sum+1)
        dp[i][0]=true
    }
    for i:=1;i<=len(nums);i++{
        for j:=1;j<=sum;j++{//j是固定总量
            if j>=nums[i-1]{//如果容量够用则可放入背包
                dp[i][j]=dp[i-1][j]||dp[i-1][j-nums[i-1]]
            }else{//如果容量不够用则不拿,维持前一个状态
                dp[i][j]=dp[i-1][j]
            }
        }
    }
    return dp[len(nums)][sum]
}
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javaScript:

var canPartition = function(nums) {
    const sum = (nums.reduce((p, v) => p + v));
    if (sum & 1) return false;
    const dp = Array(sum / 2 + 1).fill(0);
    for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
        for(let j = sum / 2; j >= nums[i]; j--) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            if (dp[j] === sum / 2) {
                return true;
            }
        }
    }
    return dp[sum / 2] === sum / 2;
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