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# 动态规划:最后一块石头的重量 II

# 1049. 最后一块石头的重量 II

力扣题目链接 (opens new window)

题目难度:中等

有一堆石头,每块石头的重量都是正整数。

每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎; 如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后,最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下,就返回 0。

示例: 输入:[2,7,4,1,8,1] 输出:1 解释: 组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1], 组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1], 组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1], 组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

提示:

  • 1 <= stones.length <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 1000

# 思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇:

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆,相撞之后剩下的石头最小,这样就化解成01背包问题了

是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集 (opens new window)非常像了。

本题物品的重量为store[i],物品的价值也为store[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量(这里说容量更形象,其实就是重量)为j的背包,最多可以背dp[j]这么重的石头

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是:dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i],看着有点晕乎。

还是要牢记dp[j]的含义,要知道dp[j - stones[i]]为 容量为j - stones[i]的背包最大所背重量。

  1. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量,那么最大容量(重量)是多少呢,就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30,1 <= stones[i] <= 1000,所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半,所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍,计算出石头总重量 然后除2,得到dp数组的大小。

我这里就直接用15000了。

接下来就是如何初始化dp[j]呢,因为重量都不会是负数,所以dp[j]都初始化为0就可以了,这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

代码为:

vector<int> dp(15001, 0);
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  1. 确定遍历顺序

动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)中就已经说明:如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒叙遍历!

代码如下:

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}

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  1. 举例推导dp数组

举例,输入:[2,4,1,1],此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ,dp数组状态图如下:

1049.最后一块石头的重量II

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头,一堆石头的总重量是dp[target],另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候,target = sum / 2 因为是向下取整,所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

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  • 时间复杂度:O(m * n) , m是石头总重量(准确的说是总重量的一半),n为石头块数
  • 空间复杂度:O(m)

# 总结

本题其实和416. 分割等和子集 (opens new window)几乎是一样的,只是最后对dp[target]的处理方式不同。

416. 分割等和子集 (opens new window)相当于是求背包是否正好装满,而本题是求背包最多能装多少。

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for (int i : stones) {
            sum += i;
        }
        int target = sum >> 1;
        //初始化dp数组
        int[] dp = new int[target + 1];
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            //采用倒序
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                //两种情况,要么放,要么不放
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}
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Python:

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        sumweight = sum(stones)
        target = sumweight // 2
        dp = [0] * 15001
        for i in range(len(stones)):
            for j in range(target, stones[i] - 1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
        return sumweight -  2 * dp[target]
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Go:

func lastStoneWeightII(stones []int) int {
	// 15001 = 30 * 1000 /2 +1
	dp := make([]int, 15001)
	// 求target
	sum := 0
	for _, v := range stones {
		sum += v
	}
	target := sum / 2
	// 遍历顺序
	for i := 0; i < len(stones); i++ {
		for j := target; j >= stones[i]; j-- {
			// 推导公式
			dp[j] = max(dp[j], dp[j-stones[i]]+stones[i])
		}
	}
	return sum - 2 * dp[target]
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}
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