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# 343. 整数拆分

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1: 输入: 2 输出: 1

\解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

# 思路

看到这道题目,都会想拆成两个呢,还是三个呢,还是四个....

我们来看一下如何使用动规来解决。

# 动态规划

动规五部曲,分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。

dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程,下面哪一步想不懂了,就想想dp[i]究竟表示的是啥!

  1. 确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?

其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j),对这个拆分不理解的话,可以回想dp数组的定义。

那有同学问了,j怎么就不拆分呢?

j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?

因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。

  1. dp的初始化

不少同学应该疑惑,dp[0] dp[1]应该初始化多少呢?

有的题解里会给出dp[0] = 1,dp[1] = 1的初始化,但解释比较牵强,主要还是因为这么初始化可以把题目过了。

严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少?

这是无解的。

这里我只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!

  1. 确定遍历顺序

确定遍历顺序,先来看看递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]。

枚举j的时候,是从1开始的。i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

所以遍历顺序为:

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}
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  1. 举例推导dp数组

举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:

343.整数拆分

以上动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n)

# 贪心

本题也可以用贪心,每次拆成n个3,如果剩下是4,则保留4,然后相乘,但是这个结论需要数学证明其合理性!

我没有证明,而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。

给出我的C++代码如下:

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};
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  • 时间复杂度O(n)
  • 空间复杂度O(1)

# 总结

本题掌握其动规的方法,就可以了,贪心的解法确实简单,但需要有数学证明,如果能自圆其说也是可以的。

其实这道题目的递推公式并不好想,而且初始化的地方也很有讲究,我在写本题的时候一开始写的代码是这样的:

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n <= 3) return 1 * (n - 1);
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for (int i = 4; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
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这个代码也是可以过的!

在解释递推公式的时候,也可以解释通,dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。 看起来没毛病!

但是在解释初始化的时候,就发现自相矛盾了,dp[1]为什么一定是1呢?根据dp[i]的定义,dp[2]也不应该是2啊。

但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);,就一定要这么初始化。递推公式没毛病,但初始化解释不通!

虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);,保证n<=3 结果是正确的,但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2,这其实就是自相矛盾的代码,违背了dp[i]的定义!

我举这个例子,其实就说做题的严谨性,上面这个代码也可以AC,大体上一看好像也没有毛病,递推公式也说得过去,但是仅仅是恰巧过了而已。

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[i]为正整数i拆分结果的最大乘积
        int[] dp = new int[n+1]; 
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i - 1; ++j) {
                //j*(i-j)代表把i拆分为j和i-j两个数相乘
                //j*dp[i-j]代表把i拆分成j和继续把(i-j)这个数拆分,取(i-j)拆分结果中的最大乘积与j相乘
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}
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Python:

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):
            # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j(1 <= j < i),则有以下两种方案:
            # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和,且 i−j 不再拆分成多个正整数,此时的乘积是 j * (i-j)
            # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和,且 i−j 继续拆分成多个正整数,此时的乘积是 j * dp[i-j]
            for j in range(1, i - 1):
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
        return dp[n]
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Go:

func integerBreak(n int) int {
    /**
    动态五部曲
    1.确定dp下标及其含义
    2.确定递推公式
    3.确定dp初始化
    4.确定遍历顺序
    5.打印dp
    **/
    dp:=make([]int,n+1)
    dp[1]=1
    dp[2]=1
    for i:=3;i<n+1;i++{
        for j:=1;j<i-1;j++{
// i可以差分为i-j和j。由于需要最大值,故需要通过j遍历所有存在的值,取其中最大的值作为当前i的最大值,在求最大值的时候,一个是j与i-j相乘,一个是j与dp[i-j].
            dp[i]=max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]))
        }
    }
    return dp[n]
}
func max(a,b int) int{
    if a>b{
        return a
    }
    return b
}
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Javascript:

var integerBreak = function(n) {
    let dp = new Array(n + 1).fill(0)
    dp[2] = 1

    for(let i = 3; i <= n; i++) {
        for(let j = 1; j < i; j++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j)
        }
    }
    return dp[n]
};
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