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# 62.不同路径

力扣题目链接 (opens new window)

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。

问总共有多少条不同的路径?

示例 1:

输入:m = 3, n = 7 输出:28

示例 2: 输入:m = 2, n = 3 输出:3 解释: 从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。

  1. 向右 -> 向右 -> 向下
  2. 向右 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 3: 输入:m = 7, n = 3 输出:28

示例 4: 输入:m = 3, n = 3 输出:6

提示:

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

# 思路

# 深搜

这道题目,刚一看最直观的想法就是用图论里的深搜,来枚举出来有多少种路径。

注意题目中说机器人每次只能向下或者向右移动一步,那么其实机器人走过的路径可以抽象为一颗二叉树,而叶子节点就是终点!

如图举例:

62.不同路径

此时问题就可以转化为求二叉树叶子节点的个数,代码如下:

class Solution {
private:
    int dfs(int i, int j, int m, int n) {
        if (i > m || j > n) return 0; // 越界了
        if (i == m && j == n) return 1; // 找到一种方法,相当于找到了叶子节点
        return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n);
    }
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(1, 1, m, n);
    }
};
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大家如果提交了代码就会发现超时了!

来分析一下时间复杂度,这个深搜的算法,其实就是要遍历整个二叉树。

这颗树的深度其实就是m+n-1(深度按从1开始计算)。

那二叉树的节点个数就是 2^(m + n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满二叉树(其实没有遍历整个满二叉树,只是近似而已)

所以上面深搜代码的时间复杂度为O(2^(m + n - 1) - 1),可以看出,这是指数级别的时间复杂度,是非常大的。

# 动态规划

机器人从(0 , 0) 位置出发,到(m - 1, n - 1)终点。

按照动规五部曲来分析:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] :表示从(0 ,0)出发,到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

  1. 确定递推公式

想要求dp[i][j],只能有两个方向来推导出来,即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥,是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径,dp[i][j - 1]同理。

那么很自然,dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1],因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

  1. dp数组的初始化

如何初始化呢,首先dp[i][0]一定都是1,因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条,那么dp[0][j]也同理。

所以初始化代码为:

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
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  1. 确定遍历顺序

这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1],dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来,那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dp[i][j]的时候,dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。

  1. 举例推导dp数组

如图所示:

62.不同路径1

以上动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};
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  • 时间复杂度:O(m * n)
  • 空间复杂度:O(m * n)

其实用一个一维数组(也可以理解是滚动数组)就可以了,但是不利于理解,可以优化点空间,建议先理解了二维,在理解一维,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                dp[i] += dp[i - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};
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  • 时间复杂度:O(m * n)
  • 空间复杂度:O(n)

# 数论方法

在这个图中,可以看出一共m,n的话,无论怎么走,走到终点都需要 m + n - 2 步。

62.不同路径

在这m + n - 2 步中,一定有 m - 1 步是要向下走的,不用管什么时候向下走。

那么有几种走法呢? 可以转化为,给你m + n - 2个不同的数,随便取m - 1个数,有几种取法。

那么这就是一个组合问题了。

那么答案,如图所示:

62.不同路径2

求组合的时候,要防止两个int相乘溢出! 所以不能把算式的分子都算出来,分母都算出来再做除法。

例如如下代码是不行的。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int numerator = 1, denominator = 1;
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) numerator *= (t--); // 计算分子,此时分子就会溢出
        for (int i = 1; i <= m - 1; i++) denominator *= i; // 计算分母
        return numerator / denominator;
    }
};

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需要在计算分子的时候,不断除以分母,代码如下:

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long numerator = 1; // 分子
        int denominator = m - 1; // 分母
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) {
            numerator *= (t--);
            while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
                numerator /= denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};
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时间复杂度:O(m) 空间复杂度:O(1)

计算组合问题的代码还是有难度的,特别是处理溢出的情况!

# 总结

本文分别给出了深搜,动规,数论三种方法。

深搜当然是超时了,顺便分析了一下使用深搜的时间复杂度,就可以看出为什么超时了。

然后在给出动规的方法,依然是使用动规五部曲,这次我们就要考虑如何正确的初始化了,初始化和遍历顺序其实也很重要!

就酱,循序渐进学算法,认准「代码随想录」!

# 其他语言版本

Java:

  /**
     * 1. 确定dp数组下表含义 dp[i][j] 到每一个坐标可能的路径种类
     * 2. 递推公式 dp[i][j] = dp[i-1][j] dp[i][j-1]
     * 3. 初始化 dp[i][0]=1 dp[0][i]=1 初始化横竖就可
     * 4. 遍历顺序 一行一行遍历
     * 5. 推导结果 。。。。。。。。
     *
     * @param m
     * @param n
     * @return
     */
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        //初始化
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

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Python:

class Solution: # 动态规划
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1 for i in range(n)] for j in range(m)]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]
        return dp[m - 1][n - 1]
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Go:

func uniquePaths(m int, n int) int {
	dp := make([][]int, m)
	for i := range dp {
		dp[i] = make([]int, n)
		dp[i][0] = 1
	}
	for j := 0; j < n; j++ {
		dp[0][j] = 1
	}
	for i := 1; i < m; i++ {
		for j := 1; j < n; j++ {
			dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
		}
	}
	return dp[m-1][n-1]
}
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Javascript:

var uniquePaths = function(m, n) {
    const dp = Array(m).fill().map(item => Array(n))
    
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        dp[i][0] = 1
    }
    
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        dp[0][i] = 1
    }
    
    for (let i = 1; i < m; ++i) {
        for (let j = 1; j < n; ++j) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1]
};
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