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# 动态规划: 给我个机会,我再兑换一次零钱

# 322. 零钱兑换

力扣题目链接 (opens new window)

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1: 输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出:3 解释:11 = 5 + 5 + 1

示例 2: 输入:coins = [2], amount = 3 输出:-1

示例 3: 输入:coins = [1], amount = 0 输出:0

示例 4: 输入:coins = [1], amount = 1 输出:1

示例 5: 输入:coins = [1], amount = 2 输出:2

提示:

  • 1 <= coins.length <= 12
  • 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
  • 0 <= amount <= 10^4

# 思路

动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经兑换一次零钱了,这次又要兑换,套路不一样!

题目中说每种硬币的数量是无限的,可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

  1. 确定递推公式

得到dp[j](考虑coins[i]),只有一个来源,dp[j - coins[i]](没有考虑coins[i])。

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]],那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j](考虑coins[i])

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢?

考虑到递推公式的特性,dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

代码如下:

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
1
2
  1. 确定遍历顺序

本题求钱币最小个数,那么钱币有顺序和没有顺序都可以,都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划:518.零钱兑换II (opens new window),求排列数是动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)

所以本题的两个for循环的关系是:外层for循环遍历物品,内层for遍历背包或者外层for遍历背包,内层for循环遍历物品都是可以的!

那么我采用coins放在外循环,target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用,那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

综上所述,遍历顺序为:coins(物品)放在外循环,target(背包)在内循环。且内循环正序。

  1. 举例推导dp数组

以输入:coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

322.零钱兑换

dp[amount]为最终结果。

# C++代码

以上分析完毕,C++ 代码如下:

// 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};
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对于遍历方式遍历背包放在外循环,遍历物品放在内循环也是可以的,我就直接给出代码了

// 版本二
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};
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# 总结

细心的同学看网上的题解,可能看一篇是遍历背包的for循环放外面,看一篇又是遍历背包的for循环放里面,看多了都看晕了,到底两个for循环应该是什么先后关系。

能把遍历顺序讲明白的文章几乎找不到!

这也是大多数同学学习动态规划的苦恼所在,有的时候递推公式很简单,难在遍历顺序上!

但最终又可以稀里糊涂的把题目过了,也不知道为什么这样可以过,反正就是过了,哈哈

那么这篇文章就把遍历顺序分析的清清楚楚。

动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)中求的是组合数,动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中求的是排列数。

而本题是要求最少硬币数量,硬币是组合数还是排列数都无所谓!所以两个for循环先后顺序怎样都可以!

这也是我为什么要先讲518.零钱兑换II 然后再讲本题即:322.零钱兑换,这是Carl的良苦用心那。

相信大家看完之后,对背包问题中的遍历顺序又了更深的理解了。

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组为最大值
        for (int j = 0; j < dp.length; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        //当金额为0时需要的硬币数目为0
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            //正序遍历:完全背包每个硬币可以选择多次
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                //只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时,该位才有选择的必要
                if (dp[j - coins[i]] != max) {
                    //选择硬币数目最小的情况
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }
}
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Python:

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        '''版本一'''
        # 初始化
        dp = [amount + 1]*(amount + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历物品
        for coin in coins:
            # 遍历背包
            for j in range(coin, amount + 1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)
        return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1
    
    def coinChange1(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        '''版本二'''
        # 初始化
        dp = [amount + 1]*(amount + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历物品
        for j in range(1, amount + 1):
            # 遍历背包
            for coin in coins:
                if j >= coin:
                	dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)
        return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1
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Go:

// 版本一, 先遍历物品,再遍历背包
func coinChange1(coins []int, amount int) int {
	dp := make([]int, amount+1)
	// 初始化dp[0]
	dp[0] = 0
	// 初始化为math.MaxInt32
	for j := 1; j <= amount; j++ {
		dp[j] = math.MaxInt32
	}

	// 遍历物品
	for i := 0; i < len(coins); i++ {
		// 遍历背包
		for j := coins[i]; j <= amount; j++ {
			if dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
				// 推导公式
				dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
				//fmt.Println(dp,j,i)
			}
		}
	}
	// 没找到能装满背包的, 就返回-1
	if dp[amount] == math.MaxInt32 {
		return -1
	}
	return dp[amount]
}

// 版本二,先遍历背包,再遍历物品
func coinChange2(coins []int, amount int) int {
	dp := make([]int, amount+1)
	// 初始化dp[0]
	dp[0] = 0
	// 遍历背包,从1开始
	for j := 1; j <= amount; j++ {
		// 初始化为math.MaxInt32
		dp[j] = math.MaxInt32
		// 遍历物品
		for i := 0; i < len(coins); i++ {
			if j >= coins[i] && dp[j-coins[i]] != math.MaxInt32 {
				// 推导公式
				dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)
				//fmt.Println(dp)
			}
		}
	}
	// 没找到能装满背包的, 就返回-1
	if dp[amount] == math.MaxInt32 {
		return -1
	}
	return dp[amount]
}

func min(a, b int) int {
	if a < b {
		return a
	}
	return b
}

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Javascript:

const coinChange = (coins, amount) => {
    if(!amount) {
        return 0;
    }

    let dp = Array(amount + 1).fill(Infinity);
    dp[0] = 0;

    for(let i =0; i < coins.length; i++) {
        for(let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
        }
    }

    return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
}
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