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# 337.打家劫舍 III

力扣题目链接 (opens new window)

在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后,小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口,我们称之为“根”。 除了“根”之外,每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后,聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫,房屋将自动报警。

计算在不触动警报的情况下,小偷一晚能够盗取的最高金额。

337.打家劫舍III

# 思路

这道题目和 198.打家劫舍 (opens new window)213.打家劫舍II (opens new window)也是如出一辙,只不过这个换成了树。

如果对树的遍历不够熟悉的话,那本题就有难度了。

对于树的话,首先就要想到遍历方式,前中后序(深度优先搜索)还是层序遍历(广度优先搜索)。

本题一定是要后序遍历,因为通过递归函数的返回值来做下一步计算

与198.打家劫舍,213.打家劫舍II一样,关键是要讨论当前节点抢还是不抢。

如果抢了当前节点,两个孩子就不能动,如果没抢当前节点,就可以考虑抢左右孩子(注意这里说的是“考虑”

# 暴力递归

代码如下:

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        if (root == NULL) return 0;
        if (root->left == NULL && root->right == NULL) return root->val;
        // 偷父节点
        int val1 = root->val;
        if (root->left) val1 += rob(root->left->left) + rob(root->left->right); // 跳过root->left,相当于不考虑左孩子了
        if (root->right) val1 += rob(root->right->left) + rob(root->right->right); // 跳过root->right,相当于不考虑右孩子了
        // 不偷父节点
        int val2 = rob(root->left) + rob(root->right); // 考虑root的左右孩子
        return max(val1, val2);
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n^2) 这个时间复杂度不太标准,也不容易准确化,例如越往下的节点重复计算次数就越多
  • 空间复杂度:O(logn) 算上递推系统栈的空间

当然以上代码超时了,这个递归的过程中其实是有重复计算了。

我们计算了root的四个孙子(左右孩子的孩子)为头结点的子树的情况,又计算了root的左右孩子为头结点的子树的情况,计算左右孩子的时候其实又把孙子计算了一遍。

# 记忆化递推

所以可以使用一个map把计算过的结果保存一下,这样如果计算过孙子了,那么计算孩子的时候可以复用孙子节点的结果。

代码如下:

class Solution {
public:
    unordered_map<TreeNode* , int> umap; // 记录计算过的结果
    int rob(TreeNode* root) {
        if (root == NULL) return 0;
        if (root->left == NULL && root->right == NULL) return root->val;
        if (umap[root]) return umap[root]; // 如果umap里已经有记录则直接返回
        // 偷父节点
        int val1 = root->val;
        if (root->left) val1 += rob(root->left->left) + rob(root->left->right); // 跳过root->left
        if (root->right) val1 += rob(root->right->left) + rob(root->right->right); // 跳过root->right
        // 不偷父节点
        int val2 = rob(root->left) + rob(root->right); // 考虑root的左右孩子
        umap[root] = max(val1, val2); // umap记录一下结果
        return max(val1, val2);
    }
};

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  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(logn) 算上递推系统栈的空间

# 动态规划

在上面两种方法,其实对一个节点 偷与不偷得到的最大金钱都没有做记录,而是需要实时计算。

而动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化,这里可以使用一个长度为2的数组,记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。

这道题目算是树形dp的入门题目,因为是在树上进行状态转移,我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲,那么下面我以递归三部曲为框架,其中融合动规五部曲的内容来进行讲解

  1. 确定递归函数的参数和返回值

这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱,那么返回值就是一个长度为2的数组。

参数为当前节点,代码如下:

vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
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其实这里的返回数组就是dp数组。

所以dp数组(dp table)以及下标的含义:下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱,下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

所以本题dp数组就是一个长度为2的数组!

那么有同学可能疑惑,长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢?

别忘了在递归的过程中,系统栈会保存每一层递归的参数

如果还不理解的话,就接着往下看,看到代码就理解了哈。

  1. 确定终止条件

在遍历的过程中,如果遇到空节点的话,很明显,无论偷还是不偷都是0,所以就返回

if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
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这也相当于dp数组的初始化

  1. 确定遍历顺序

首先明确的是使用后序遍历。 因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

通过递归左节点,得到左节点偷与不偷的金钱。

通过递归右节点,得到右节点偷与不偷的金钱。

代码如下:

// 下标0:不偷,下标1:偷
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
// 中

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  1. 确定单层递归的逻辑

如果是偷当前节点,那么左右孩子就不能偷,val1 = cur->val + left[0] + right[0]; (如果对下标含义不理解就在回顾一下dp数组的含义

如果不偷当前节点,那么左右孩子就可以偷,至于到底偷不偷一定是选一个最大的,所以:val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即:{不偷当前节点得到的最大金钱,偷当前节点得到的最大金钱}

代码如下:

vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右

// 偷cur
int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
// 不偷cur
int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
return {val2, val1};
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  1. 举例推导dp数组

以示例1为例,dp数组状态如下:(注意用后序遍历的方式推导

337.打家劫舍III

最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱

递归三部曲与动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        vector<int> result = robTree(root);
        return max(result[0], result[1]);
    }
    // 长度为2的数组,0:不偷,1:偷
    vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
        if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
        vector<int> left = robTree(cur->left);
        vector<int> right = robTree(cur->right);
        // 偷cur
        int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
        // 不偷cur
        int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
        return {val2, val1};
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n) 每个节点只遍历了一次
  • 空间复杂度:O(logn) 算上递推系统栈的空间

# 总结

这道题是树形DP的入门题目,通过这道题目大家应该也了解了,所谓树形DP就是在树上进行递归公式的推导。

所以树形DP也没有那么神秘!

只不过平时我们习惯了在一维数组或者二维数组上推导公式,一下子换成了树,就需要对树的遍历方式足够了解!

大家还记不记得我在讲解贪心专题的时候,讲到这道题目:贪心算法:我要监控二叉树! (opens new window),这也是贪心算法在树上的应用。那我也可以把这个算法起一个名字,叫做树形贪心,哈哈哈

“树形贪心”词汇从此诞生,来自「代码随想录」

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    // 1.递归去偷,超时
    public int rob(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return 0;
        int money = root.val;
        if (root.left != null) {
            money += rob(root.left.left) + rob(root.left.right);
        }
        if (root.right != null) {
            money += rob(root.right.left) + rob(root.right.right);
        }
        return Math.max(money, rob(root.left) + rob(root.right));
    }

    // 2.递归去偷,记录状态
    // 执行用时:3 ms , 在所有 Java 提交中击败了 56.24% 的用户
    public int rob1(TreeNode root) {
        Map<TreeNode, Integer> memo = new HashMap<>();
        return robAction(root, memo);
    }

    int robAction(TreeNode root, Map<TreeNode, Integer> memo) {
        if (root == null)
            return 0;
        if (memo.containsKey(root))
            return memo.get(root);
        int money = root.val;
        if (root.left != null) {
            money += robAction(root.left.left, memo) + robAction(root.left.right, memo);
        }
        if (root.right != null) {
            money += robAction(root.right.left, memo) + robAction(root.right.right, memo);
        }
        int res = Math.max(money, robAction(root.left, memo) + robAction(root.right, memo));
        memo.put(root, res);
        return res;
    }

    // 3.状态标记递归
    // 执行用时:0 ms , 在所有 Java 提交中击败了 100% 的用户
    // 不偷:Max(左孩子不偷,左孩子偷) + Max(又孩子不偷,右孩子偷)
    // root[0] = Math.max(rob(root.left)[0], rob(root.left)[1]) +
    // Math.max(rob(root.right)[0], rob(root.right)[1])
    // 偷:左孩子不偷+ 右孩子不偷 + 当前节点偷
    // root[1] = rob(root.left)[0] + rob(root.right)[0] + root.val;
    public int rob3(TreeNode root) {
        int[] res = robAction1(root);
        return Math.max(res[0], res[1]);
    }

    int[] robAction1(TreeNode root) {
        int res[] = new int[2];
        if (root == null)
            return res;

        int[] left = robAction1(root.left);
        int[] right = robAction1(root.right);

        res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
        res[1] = root.val + left[0] + right[0];
        return res;
    }
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Python:

暴力递归


# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def rob(self, root: TreeNode) -> int:
        if root is None:
            return 0
        if root.left is None and root.right  is None:
            return root.val
        # 偷父节点
        val1 = root.val
        if root.left:
            val1 += self.rob(root.left.left) + self.rob(root.left.right)
        if root.right:
            val1 += self.rob(root.right.left) + self.rob(root.right.right)
        # 不偷父节点
        val2 = self.rob(root.left) + self.rob(root.right)
        return max(val1, val2)
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记忆化递归


# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    memory = {}
    def rob(self, root: TreeNode) -> int:
        if root is None:
            return 0
        if root.left is None and root.right  is None:
            return root.val
        if self.memory.get(root) is not None:
            return self.memory[root]
        # 偷父节点
        val1 = root.val
        if root.left:
            val1 += self.rob(root.left.left) + self.rob(root.left.right)
        if root.right:
            val1 += self.rob(root.right.left) + self.rob(root.right.right)
        # 不偷父节点
        val2 = self.rob(root.left) + self.rob(root.right)
        self.memory[root] = max(val1, val2)
        return max(val1, val2)
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动态规划

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def rob(self, root: TreeNode) -> int:
        result = self.rob_tree(root)
        return max(result[0], result[1])
    
    def rob_tree(self, node):
        if node is None:
            return (0, 0) # (偷当前节点金额,不偷当前节点金额)
        left = self.rob_tree(node.left)
        right = self.rob_tree(node.right)
        val1 = node.val + left[1] + right[1] # 偷当前节点,不能偷子节点
        val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]) # 不偷当前节点,可偷可不偷子节点
        return (val1, val2)
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JavaScript:

动态规划

const rob = root => {
    // 后序遍历函数
    const postOrder = node => {
        // 递归出口
        if (!node) return [0, 0];
        // 遍历左子树
        const left = postOrder(node.left);
        // 遍历右子树
        const right = postOrder(node.right);
        // 不偷当前节点,左右子节点都可以偷或不偷,取最大值
        const DoNot = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
        // 偷当前节点,左右子节点只能不偷
        const Do = node.val + left[0] + right[0];
        // [不偷,偷]
        return [DoNot, Do];
    };
    const res = postOrder(root);
    // 返回最大值
    return Math.max(...res);
};
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