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# 968.监控二叉树

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个二叉树,我们在树的节点上安装摄像头。

节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。

计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量。

示例 1:

输入:[0,0,null,0,0] 输出:1 解释:如图所示,一台摄像头足以监控所有节点。

示例 2:

输入:[0,0,null,0,null,0,null,null,0] 输出:2 解释:需要至少两个摄像头来监视树的所有节点。 上图显示了摄像头放置的有效位置之一。

提示:

  • 给定树的节点数的范围是 [1, 1000]。
  • 每个节点的值都是 0。

# 思路

这道题目首先要想,如何放置,才能让摄像头最小的呢?

从题目中示例,其实可以得到启发,我们发现题目示例中的摄像头都没有放在叶子节点上!

这是很重要的一个线索,摄像头可以覆盖上中下三层,如果把摄像头放在叶子节点上,就浪费的一层的覆盖。

所以把摄像头放在叶子节点的父节点位置,才能充分利用摄像头的覆盖面积。

那么有同学可能问了,为什么不从头结点开始看起呢,为啥要从叶子节点看呢?

因为头结点放不放摄像头也就省下一个摄像头, 叶子节点放不放摄像头省下了的摄像头数量是指数阶别的。

所以我们要从下往上看,局部最优:让叶子节点的父节点安摄像头,所用摄像头最少,整体最优:全部摄像头数量所用最少!

局部最优推出全局最优,找不出反例,那么就按照贪心来!

此时,大体思路就是从低到上,先给叶子节点父节点放个摄像头,然后隔两个节点放一个摄像头,直至到二叉树头结点。

此时这道题目还有两个难点:

  1. 二叉树的遍历
  2. 如何隔两个节点放一个摄像头

# 确定遍历顺序

在二叉树中如何从低向上推导呢?

可以使用后序遍历也就是左右中的顺序,这样就可以在回溯的过程中从下到上进行推导了。

后序遍历代码如下:

    int traversal(TreeNode* cur) {

        // 空节点,该节点有覆盖
        if (终止条件) return ;

        int left = traversal(cur->left);    // 左
        int right = traversal(cur->right);  // 右

        逻辑处理                            // 中
        return ;
    }
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注意在以上代码中我们取了左孩子的返回值,右孩子的返回值,即left 和 right, 以后推导中间节点的状态

# 如何隔两个节点放一个摄像头

此时需要状态转移的公式,大家不要和动态的状态转移公式混到一起,本题状态转移没有择优的过程,就是单纯的状态转移!

来看看这个状态应该如何转移,先来看看每个节点可能有几种状态:

有如下三种:

  • 该节点无覆盖
  • 本节点有摄像头
  • 本节点有覆盖

我们分别有三个数字来表示:

  • 0:该节点无覆盖
  • 1:本节点有摄像头
  • 2:本节点有覆盖

大家应该找不出第四个节点的状态了。

一些同学可能会想有没有第四种状态:本节点无摄像头,其实无摄像头就是 无覆盖 或者 有覆盖的状态,所以一共还是三个状态。

因为在遍历树的过程中,就会遇到空节点,那么问题来了,空节点究竟是哪一种状态呢? 空节点表示无覆盖? 表示有摄像头?还是有覆盖呢?

回归本质,为了让摄像头数量最少,我们要尽量让叶子节点的父节点安装摄像头,这样才能摄像头的数量最少。

那么空节点不能是无覆盖的状态,这样叶子节点就要放摄像头了,空节点也不能是有摄像头的状态,这样叶子节点的父节点就没有必要放摄像头了,而是可以把摄像头放在叶子节点的爷爷节点上。

所以空节点的状态只能是有覆盖,这样就可以在叶子节点的父节点放摄像头了

接下来就是递推关系。

那么递归的终止条件应该是遇到了空节点,此时应该返回2(有覆盖),原因上面已经解释过了。

代码如下:

// 空节点,该节点有覆盖
if (cur == NULL) return 2;
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递归的函数,以及终止条件已经确定了,再来看单层逻辑处理。

主要有如下四类情况:

  • 情况1:左右节点都有覆盖

左孩子有覆盖,右孩子有覆盖,那么此时中间节点应该就是无覆盖的状态了。

如图:

968.监控二叉树2

代码如下:

// 左右节点都有覆盖
if (left == 2 && right == 2) return 0;
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  • 情况2:左右节点至少有一个无覆盖的情况

如果是以下情况,则中间节点(父节点)应该放摄像头:

left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖 left == 1 && right == 0 左节点有摄像头,右节点无覆盖 left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖,右节点摄像头 left == 0 && right == 2 左节点无覆盖,右节点覆盖 left == 2 && right == 0 左节点覆盖,右节点无覆盖

这个不难理解,毕竟有一个孩子没有覆盖,父节点就应该放摄像头。

此时摄像头的数量要加一,并且return 1,代表中间节点放摄像头。

代码如下:

if (left == 0 || right == 0) {
    result++;
    return 1;
}
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  • 情况3:左右节点至少有一个有摄像头

如果是以下情况,其实就是 左右孩子节点有一个有摄像头了,那么其父节点就应该是2(覆盖的状态)

left == 1 && right == 2 左节点有摄像头,右节点有覆盖 left == 2 && right == 1 左节点有覆盖,右节点有摄像头 left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头

代码如下:

if (left == 1 || right == 1) return 2;
1

从这个代码中,可以看出,如果left == 1, right == 0 怎么办?其实这种条件在情况2中已经判断过了,如图:

968.监控二叉树1

这种情况也是大多数同学容易迷惑的情况。

  1. 情况4:头结点没有覆盖

以上都处理完了,递归结束之后,可能头结点 还有一个无覆盖的情况,如图:

968.监控二叉树3

所以递归结束之后,还要判断根节点,如果没有覆盖,result++,代码如下:

int minCameraCover(TreeNode* root) {
    result = 0;
    if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖
        result++;
    }
    return result;
}
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以上四种情况我们分析完了,代码也差不多了,整体代码如下:

以下我的代码注释很详细,为了把情况说清楚,特别把每种情况列出来。

# C++代码

// 版本一
class Solution {
private:
    int result;
    int traversal(TreeNode* cur) {

        // 空节点,该节点有覆盖
        if (cur == NULL) return 2;

        int left = traversal(cur->left);    // 左
        int right = traversal(cur->right);  // 右

        // 情况1
        // 左右节点都有覆盖
        if (left == 2 && right == 2) return 0;

        // 情况2
        // left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖
        // left == 1 && right == 0 左节点有摄像头,右节点无覆盖
        // left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖,右节点摄像头
        // left == 0 && right == 2 左节点无覆盖,右节点覆盖
        // left == 2 && right == 0 左节点覆盖,右节点无覆盖
        if (left == 0 || right == 0) {
            result++;
            return 1;
        }

        // 情况3
        // left == 1 && right == 2 左节点有摄像头,右节点有覆盖
        // left == 2 && right == 1 左节点有覆盖,右节点有摄像头
        // left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头
        // 其他情况前段代码均已覆盖
        if (left == 1 || right == 1) return 2;

        // 以上代码我没有使用else,主要是为了把各个分支条件展现出来,这样代码有助于读者理解
        // 这个 return -1 逻辑不会走到这里。
        return -1;
    }

public:
    int minCameraCover(TreeNode* root) {
        result = 0;
        // 情况4
        if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖
            result++;
        }
        return result;
    }
};
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在以上代码的基础上,再进行精简,代码如下:

// 版本二
class Solution {
private:
    int result;
    int traversal(TreeNode* cur) {
        if (cur == NULL) return 2;
        int left = traversal(cur->left);    // 左
        int right = traversal(cur->right);  // 右
        if (left == 2 && right == 2) return 0;
        else if (left == 0 || right == 0) {
            result++;
            return 1;
        } else return 2;
    }
public:
    int minCameraCover(TreeNode* root) {
        result = 0;
        if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖
            result++;
        }
        return result;
    }
};


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大家可能会惊讶,居然可以这么简短,其实就是在版本一的基础上,使用else把一些情况直接覆盖掉了

在网上关于这道题解可以搜到很多这种神级别的代码,但都没讲不清楚,如果直接看代码的话,指定越看越晕,所以建议大家对着版本一的代码一步一步来哈,版本二中看不中用!

# 总结

本题的难点首先是要想到贪心的思路,然后就是遍历和状态推导。

在二叉树上进行状态推导,其实难度就上了一个台阶了,需要对二叉树的操作非常娴熟。

这道题目是名副其实的hard,大家感受感受,哈哈。

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    private int count = 0;
    public int minCameraCover(TreeNode root) {
        if (trval(root) == 0) count++;
        return count;
    }

    private int trval(TreeNode root) {
        if (root == null) return -1;

        int left = trval(root.left);
        int right = trval(root.right);

        if (left == 0 || right == 0) {
            count++;
            return 2;
        }

        if (left == 2 || right == 2) {
            return 1;
        }

        return 0;
    }
}
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Python:

class Solution:
    def minCameraCover(self, root: TreeNode) -> int:
        result = 0
        def traversal(cur):
            nonlocal result
            if not cur:
                return 2
            left = traversal(cur.left)
            right = traversal(cur.right)
            if left == 2 and right == 2:
                return 0
            elif left == 0 or right == 0:
                result += 1
                return 1
            elif left == 1 or right == 1:
                return 2
            else: return -1
        if traversal(root) == 0: result += 1
        return result
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Go:

const inf = math.MaxInt64 / 2

func minCameraCover(root *TreeNode) int {
    var dfs func(*TreeNode) (a, b, c int)
    dfs = func(node *TreeNode) (a, b, c int) {
        if node == nil {
            return inf, 0, 0
        }
        lefta, leftb, leftc := dfs(node.Left)
        righta, rightb, rightc := dfs(node.Right)
        a = leftc + rightc + 1
        b = min(a, min(lefta+rightb, righta+leftb))
        c = min(a, leftb+rightb)
        return
    }
    _, ans, _ := dfs(root)
    return ans
}

func min(a, b int) int {
    if a <= b {
        return a
    }
    return b
}

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Javascript:

var minCameraCover = function(root) {
    let result = 0
    function traversal(cur) {
        if(cur === null) {
            return 2
        }

        let left = traversal(cur.left)
        let right = traversal(cur.right)

        if(left === 2 && right === 2) {
            return 0
        }

        if(left === 0 || right === 0) {
            result++
            return 1
        }

        if(left === 1 || right === 1) {
            return 2
        }

        return -1
    }

    if(traversal(root) === 0) {
        result++
    }

    return result
               
};
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C:

/*
**函数后序遍历二叉树。判断一个结点状态时,根据其左右孩子结点的状态进行判断
**状态:0为没有被摄像头覆盖到。1为此结点处应设置摄像头。2为此结点已被摄像头覆盖
*/
int traversal(struct TreeNode* node, int* ans) {
    //递归结束条件:传入结点为NULL,假设此结点能被摄像头覆盖。这样方便与对叶子结点的判断,将叶子结点设为0
    if(!node)
        return 2;
    //后序遍历二叉树,记录左右孩子的状态。根据左右孩子状态更新结点自身状态
    int left = traversal(node->left, ans);
    int right = traversal(node->right, ans);

    //若左右孩子都可以被摄像头覆盖,将父亲结点状态设为0
    if(left == 2 && right == 2) {
        return 0;
    }
    //若左右孩子有一个结点状态为没有被覆盖(0),则将父亲结点状态设置为摄像头
    if(left == 0 || right == 0) {
        (*ans)++;
        return 1;
    }
    //若左右孩子有一个为摄像头,证明父亲结点可以被覆盖。将父亲结点状态变为2
    if(left == 1 || right == 1)
        return 2;
    //逻辑不会走到-1,语句不会执行
    return -1;
}

int minCameraCover(struct TreeNode* root){
    int ans = 0;

    //在对整个二叉树遍历后。头结点可能未被覆盖,这时候如果函数返回值为0,证明头结点未被覆盖。说明头结点也需要添置摄像头,ans++
    if(traversal(root, &ans) == 0)
        ans++;
    return ans;
}
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