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# 动态规划:一样的套路,再求一次完全平方数

# 279.完全平方数

力扣题目链接 (opens new window)

给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ,返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。

示例 1: 输入:n = 12 输出:3 解释:12 = 4 + 4 + 4

示例 2: 输入:n = 13 输出:2 解释:13 = 4 + 9

提示:

  • 1 <= n <= 10^4

# 思路

可能刚看这种题感觉没啥思路,又平方和的,又最小数的。

我来把题目翻译一下:完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品?

感受出来了没,这么浓厚的完全背包氛围,而且和昨天的题目动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window)就是一样一样的!

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:和为i的完全平方数的最少数量为dp[i]

  1. 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出, dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

  1. dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0。

有同学问题,那0 * 0 也算是一种啊,为啥dp[0] 就是 0呢?

看题目描述,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...),题目描述中可没说要从0开始,dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢?

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的,所以非0下标的dp[i]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖

  1. 确定遍历顺序

我们知道这是完全背包,

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。

动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window)中我们就深入探讨了这个问题,本题也是一样的,是求最小数!

所以本题外层for遍历背包,里层for遍历物品,还是外层for遍历物品,内层for遍历背包,都是可以的!

我这里先给出外层遍历背包,里层遍历物品的代码:

vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
        dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
    }
}

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  1. 举例推导dp数组

已输入n为5例,dp状态图如下:

279.完全平方数

dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2

最后的dp[n]为最终结果。

# C++代码

以上动规五部曲分析完毕C++代码如下:

// 版本一
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
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同样我在给出先遍历物品,在遍历背包的代码,一样的可以AC的。

// 版本二
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
            for (int j = 1; j <= n; j++) { // 遍历背包
                if (j - i * i >= 0) {
                    dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
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# 总结

如果大家认真做了昨天的题目动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window),今天这道就非常简单了,一样的套路一样的味道。

但如果没有按照「代码随想录」的题目顺序来做的话,做动态规划或者做背包问题,上来就做这道题,那还是挺难的!

经过前面的训练这道题已经是简单题了,哈哈哈

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    // 版本一,先遍历物品, 再遍历背包
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        //当和为0时,组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历物品
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                if (dp[j - i * i] != max) {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

class Solution {
    // 版本二, 先遍历背包, 再遍历物品
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        // 当和为0时,组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历背包
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 遍历物品
            for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}
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Python:

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        '''版本一,先遍历背包, 再遍历物品'''
        # 初始化
        nums = [i**2 for i in range(1, n + 1) if i**2 <= n]
        dp = [10**4]*(n + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历背包
        for j in range(1, n + 1):
            # 遍历物品
            for num in nums:
                if j >= num:
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1)
        return dp[n]
    
    def numSquares1(self, n: int) -> int:
        '''版本二, 先遍历物品, 再遍历背包'''
        # 初始化
        nums = [i**2 for i in range(1, n + 1) if i**2 <= n]
        dp = [10**4]*(n + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历物品
        for num in nums:
            # 遍历背包
            for j in range(num, n + 1)
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1)
        return dp[n]
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Python3:

class Solution:
    '''版本一,先遍历背包, 再遍历物品'''
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [n] * (n + 1)
        dp[0] = 0
        # 遍历背包
        for j in range(1, n+1):
            for i in range(1, n):
                num = i ** 2
                if num > j: break
                # 遍历物品
                if j - num >= 0:
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1)
        return dp[n]

class Solution:
    '''版本二, 先遍历物品, 再遍历背包'''
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # 初始化
        # 组成和的完全平方数的最多个数,就是只用1构成
        # 因此,dp[i] = i
        dp = [i for i in range(n + 1)]
        # dp[0] = 0 无意义,只是为了方便记录特殊情况:
        # n本身就是完全平方数,dp[n] = min(dp[n], dp[n - n] + 1) = 1

        for i in range(1, n): # 遍历物品
            if i * i > n:
                break
            num = i * i
            for j in range(num, n + 1): # 遍历背包
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1)

        return dp[n]
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Go:

// 版本一,先遍历物品, 再遍历背包
func numSquares1(n int) int {
	//定义
	dp := make([]int, n+1)
	// 初始化
	dp[0] = 0
	for i := 1; i <= n; i++ {
		dp[i] = math.MaxInt32
	}
	// 遍历物品
	for i := 1; i <= n; i++ {
		// 遍历背包
		for j := i*i; j <= n; j++ {
			dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
		}
	}

	return dp[n]
}

// 版本二,先遍历背包, 再遍历物品
func numSquares2(n int) int {
	//定义
	dp := make([]int, n+1)
	// 初始化
	dp[0] = 0
	// 遍历背包
	for j := 1; j <= n; j++ {
		//初始化
		dp[j] = math.MaxInt32
		// 遍历物品
		for i := 1; i <= n; i++ {
			if j >= i*i {
				dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
			}
		}
	}

	return dp[n]
}

func min(a, b int) int {
	if a < b {
		return a
	}
	return b
}
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Javascript:

// 先遍历物品,再遍历背包
var numSquares1 = function(n) {
    let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
    dp[0] = 0

    for(let i = 0; i <= n; i++) {
        let val = i * i
        for(let j = val; j <= n; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - val] + 1)
        }
    }
    return dp[n]
};
// 先遍历背包,再遍历物品
var numSquares2 = function(n) {
    let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
    dp[0] = 0

    for(let i = 1; i <= n; i++) {
        for(let j = 1; j * j <= i; j++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - j * j] + 1, dp[i])
        }
    }

    return dp[n]
};
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