本周小结！（动态规划系列七）

本周的主题就是股票系列，来一起回顾一下吧

周一

动态规划：买卖股票的最佳时机II (opens new window)中股票可以买卖多次了！

这也是和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

重点在于递推公式的不同。

在回顾一下dp数组的含义：

• dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
• dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

递推公式：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);

大家可以发现本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的代码几乎一样，唯一的区别在：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。

周二

动态规划：买卖股票的最佳时机III (opens new window)中最多只能完成两笔交易。

这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

1. 确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

0. 没有操作
1. 第一次买入
2. 第一次卖出
3. 第二次买入
4. 第二次卖出

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

2. 确定递推公式

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3. dp数组如何初始化

dp[0][0] = 0; dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][2] = 0; dp[0][3] = -prices[0]; dp[0][4] = 0;

4. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。

所以最终最大利润是dp[4][4]

周三

动态规划：买卖股票的最佳时机IV (opens new window)最多可以完成 k 笔交易。

相对于上一道动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)，本题需要通过前两次的交易，来类比前k次的交易

1. 确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• .....

除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

2. 确定递推公式

还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

本题和动态规划：123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。

3. dp数组如何初始化

dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下：

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

在初始化的地方同样要类比j为奇数是买、偶数是卖的状态。

4. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

周四

动态规划：最佳买卖股票时机含冷冻期 (opens new window)尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票），但有冷冻期，冷冻期为1天

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II (opens new window)，本题加上了一个冷冻期

本题则需要第三个状态：不持有股票（冷冻期）的最多现金。

动规五部曲，分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

j的状态为：

• 0：持有股票后的最多现金
• 1：不持有股票（能购买）的最多现金
• 2：不持有股票（冷冻期）的最多现金

2. 确定递推公式

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

3. dp数组如何初始化

可以统一都初始为0了。

代码如下：

vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3, 0));

初始化其实很有讲究，很多同学可能是稀里糊涂的全都初始化0，反正就可以通过，但没有想清楚，为什么都初始化为0。

4. 确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

5. 举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后两个状态 不持有股票（能购买） 和 不持有股票（冷冻期）都有可能最后结果，取最大的。

总结

下周还会有一篇股票系列的文章，股票系列后面我也会单独写一篇总结，来高度概括一下，这样大家会对股票问题就有一个整体性的理解了。