本周的主题就是股票系列,来一起回顾一下吧

# 周一

动态规划:买卖股票的最佳时机II (opens new window)中股票可以买买多了次!

这也是和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别(注意只有一只股票,所以再次购买前要出售掉之前的股票)

重点在于递推公式公式的不同。

在回顾一下dp数组的含义:

  • dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
  • dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

递推公式:

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
1
2

大家可以发现本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的代码几乎一样,唯一的区别在:

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
1

这正是因为本题的股票可以买卖多次! 所以买入股票的时候,可能会有之前买卖的利润即:dp[i - 1][1],所以dp[i - 1][1] - prices[i]。

# 周二

动态规划:买卖股票的最佳时机III (opens new window)中最多只能完成两笔交易。

这意味着可以买卖一次,可以买卖两次,也可以不买卖

  1. 确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态, 0. 没有操作

  1. 第一次买入
  2. 第一次卖出
  3. 第二次买入
  4. 第二次卖出

dp[i][j]中 i表示第i天,j为 [0 - 4] 五个状态,dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金

  1. 确定递推公式

需要注意:dp[i][1],表示的是第i天,买入股票的状态,并不是说一定要第i天买入股票,这是很多同学容易陷入的误区

dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
1
2
3
4
  1. dp数组如何初始化

dp[0][0] = 0; dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][2] = 0; dp[0][3] = -prices[0]; dp[0][4] = 0;

  1. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出,一定是从前向后遍历,因为dp[i],依靠dp[i - 1]的数值。

  1. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

123.买卖股票的最佳时机III

可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态,而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。

所以最终最大利润是dp[4][4]

# 周三

动态规划:买卖股票的最佳时机IV (opens new window)最多可以完成 k 笔交易。

相对于上一道动态规划:123.买卖股票的最佳时机III (opens new window),本题需要通过前两次的交易,来类比前k次的交易

  1. 确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] :第i天的状态为j,所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为:

  • 0 表示不操作
  • 1 第一次买入
  • 2 第一次卖出
  • 3 第二次买入
  • 4 第二次卖出
  • .....

除了0以外,偶数就是卖出,奇数就是买入

  1. 确定递推公式

还要强调一下:dp[i][1],表示的是第i天,买入股票的状态,并不是说一定要第i天买入股票,这是很多同学容易陷入的误区

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
1
2
3
4

本题和动态规划:123.买卖股票的最佳时机III (opens new window)最大的区别就是这里要类比j为奇数是买,偶数是卖剩的状态

  1. dp数组如何初始化

dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下:

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}
1
2
3

在初始化的地方同样要类比j为偶数是买、奇数是卖的状态

  1. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出,一定是从前向后遍历,因为dp[i],依靠dp[i - 1]的数值。

  1. 举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5],k=2为例。

188.买卖股票的最佳时机IV

最后一次卖出,一定是利润最大的,dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

# 周四

动态规划:最佳买卖股票时机含冷冻期 (opens new window)尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票),但有冷冻期,冷冻期为1天

相对于动态规划:122.买卖股票的最佳时机II (opens new window),本题加上了一个冷冻期

本题则需要第三个状态:不持有股票(冷冻期)的最多现金

动规五部曲,分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j],第i天状态为j,所剩的最多现金为dp[i][j]

j的状态为:

  • 1:持有股票后的最多现金
  • 2:不持有股票(能购买)的最多现金
  • 3:不持有股票(冷冻期)的最多现金
  1. 确定递推公式
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
1
2
3
  1. dp数组如何初始化

可以统一都初始为0了。

代码如下:

vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3, 0));
1

初始化其实很有讲究,很多同学可能是稀里糊涂的全都初始化0,反正就可以通过,但没有想清楚,为什么都初始化为0

  1. 确定遍历顺序

从递归公式上可以看出,dp[i] 依赖于 dp[i-1],所以是从前向后遍历。

  1. 举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例,dp数组如下:

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

最后两个状态 不持有股票(能购买) 和 不持有股票(冷冻期)都有可能最后结果,取最大的。

# 总结

下周还会有一篇股票系列的文章,股票系列后面我也会单独写一篇总结,来高度概括一下,这样大家会对股票问题就有一个整体性的理解了