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# 121. 买卖股票的最佳时机

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个数组 prices ,它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票,并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润,返回 0 。

示例 1:
输入:[7,1,5,3,6,4]
输出:5
解释:在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出,最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格;同时,你不能在买入前卖出股票。

示例 2:
输入:prices = [7,6,4,3,1]
输出:0
解释:在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

# 思路

# 暴力

这道题目最直观的想法,就是暴力,找最优间距了。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
            for (int j = i + 1; j < prices.size(); j++){
                result = max(result, prices[j] - prices[i]);
            }
        }
        return result;
    }
};
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  • 时间复杂度:$O(n^2)$
  • 空间复杂度:$O(1)$

当然该方法超时了。

# 贪心

因为股票就买卖一次,那么贪心的想法很自然就是取最左最小值,取最右最大值,那么得到的差值就是最大利润。

C++代码如下:

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int low = INT_MAX;
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
            low = min(low, prices[i]);  // 取最左最小价格
            result = max(result, prices[i] - low); // 直接取最大区间利润
        }
        return result;
    }
};
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  • 时间复杂度:$O(n)$
  • 空间复杂度:$O(1)$

# 动态规划

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ,这里可能有同学疑惑,本题中只能买卖一次,持有股票之后哪还有现金呢?

其实一开始现金是0,那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i], 这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”,“持有”不代表就是当天“买入”!也有可能是昨天就买入了,今天保持持有的状态

很多同学把“持有”和“买入”没分区分清楚。

在下面递推公式分析中,我会进一步讲解。

  1. 确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0], 那么可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][0]
  • 第i天买入股票,所得现金就是买入今天的股票后所得现金即:-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的,所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1], 也可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就不持有股票,那么就保持现状,所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即:dp[i - 1][1]
  • 第i天卖出股票,所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即:prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的,dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递归公式我们就分析完了

  1. dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票,此时的持有股票就一定是买入股票了,因为不可能有前一天推出来,所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票,不持有股票那么现金就是0,所以dp[0][1] = 0;

  1. 确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的,那么一定是从前向后遍历。

  1. 举例推导dp数组

以示例1,输入:[7,1,5,3,6,4]为例,dp数组状态如下:

121.买卖股票的最佳时机

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢?

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多!

以上分析完毕,C++代码如下:

// 版本一
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};
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  • 时间复杂度:$O(n)$
  • 空间复杂度:$O(n)$

从递推公式可以看出,dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
1
2

那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了,可以使用滚动数组来节省空间,代码如下:

// 版本二
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};
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  • 时间复杂度:$O(n)$
  • 空间复杂度:$O(1)$

这里能写出版本一就可以了,版本二虽然原理都一样,但是想直接写出版本二还是有点麻烦,容易自己给自己找bug。

所以建议是先写出版本一,然后在版本一的基础上优化成版本二,而不是直接就写出版本二。

# 其他语言版本

Java:

贪心法:

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 找到一个最小的购入点
        int low = Integer.MAX_VALUE;
        // res不断更新,直到数组循环完毕
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < prices.length; i++){
            low = Math.min(prices[i], low);
            res = Math.max(prices[i] - low, res);
        }
        return res;
    }
}
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动态规划:版本一

// 解法1
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        int length = prices.length;
        // dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
        // dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
        int[][] dp = new int[length][2];
        int result = 0;
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
        }
        return dp[length - 1][1];
    }
}
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动态规划:版本二

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
    int[] dp = new int[2];
    // 记录一次交易,一次交易有买入卖出两种状态
    // 0代表持有,1代表卖出
    dp[0] = -prices[0];
    dp[1] = 0;
    // 可以参考斐波那契问题的优化方式
    // 我们从 i=1 开始遍历数组,一共有 prices.length 天,
    // 所以是 i<=prices.length
    for (int i = 1; i <= prices.length; i++) {
      // 前一天持有;或当天买入
      dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
      // 如果 dp[0] 被更新,那么 dp[1] 肯定会被更新为正数的 dp[1]
      // 而不是 dp[0]+prices[i-1]==0 的0,
      // 所以这里使用会改变的dp[0]也是可以的
      // 当然 dp[1] 初始值为 0 ,被更新成 0 也没影响
      // 前一天卖出;或当天卖出, 当天要卖出,得前一天持有才行
      dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
    }
    return dp[1];
  }
}
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Python:

贪心法:

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        low = float("inf")
        result = 0
        for i in range(len(prices)):
            low = min(low, prices[i]) #取最左最小价格
            result = max(result, prices[i] - low) #直接取最大区间利润
        return result
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动态规划:版本一

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        if len == 0:
            return 0
        dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0])
        return dp[-1][1]
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动态规划:版本二

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i])
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0])
        return dp[(length-1) % 2][1]
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Go:

func maxProfit(prices []int) int {
	length:=len(prices)
	if length==0{return 0}
	dp:=make([][]int,length)
	for i:=0;i<length;i++{
		dp[i]=make([]int,2)
	}
	
	dp[0][0]=-prices[0]
	dp[0][1]=0
	for i:=1;i<length;i++{
		dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i])
		dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i])
	}
	return dp[length-1][1]
}

func max(a,b int)int {
    if a>b{
        return a 
    }
    return b 
}
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JavaScript:

动态规划

const maxProfit = prices => {
    const len = prices.length;
    // 创建dp数组
    const dp = new Array(len).fill([0, 0]);
    // dp数组初始化
    dp[0] = [-prices[0], 0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        // 更新dp[i]
        dp[i] = [
            Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]),
            Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]),
        ];
    }
    return dp[len - 1][1];
};
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贪心法

var maxProfit = function(prices) {
    let lowerPrice = prices[0];// 重点是维护这个最小值(贪心的思想) 
    let profit = 0;
    for(let i = 0; i < prices.length; i++){
        lowerPrice = Math.min(lowerPrice, prices[i]);// 贪心地选择左面的最小价格
        profit = Math.max(profit, prices[i] - lowerPrice);// 遍历一趟就可以获得最大利润
    }
    return profit;
};
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上次更新:: 1/4/2022, 10:38:57 AM
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