# 本周小结!(回溯算法系列三)

# 周一

回溯算法:求子集问题(二) (opens new window)中,开始针对子集问题进行去重。

本题就是回溯算法:求子集问题! (opens new window)的基础上加上了去重,去重我们在回溯算法:求组合总和(三) (opens new window)也讲过了。

所以本题对大家应该并不难。

树形结构如下:

90.子集II

# 周二

回溯算法:递增子序列 (opens new window)中,处处都能看到子集的身影,但处处是陷阱,值得好好琢磨琢磨!

树形结构如下: 491. 递增子序列1

回溯算法:递增子序列 (opens new window)留言区大家有很多疑问,主要还是和回溯算法:求子集问题(二) (opens new window)混合在了一起。

详细在本周小结!(回溯算法系列三)续集 (opens new window)中给出了介绍!

# 周三

我们已经分析了组合问题,分割问题,子集问题,那么回溯算法:排列问题! (opens new window) 又不一样了。

排列是有序的,也就是说[1,2] 和[2,1] 是两个集合,这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。

可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了,但是在[2,1]中还要在使用一次1,所以处理排列问题就不用使用startIndex了。

如图: 46.全排列

大家此时可以感受出排列问题的不同:

  • 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
  • 需要used数组记录path里都放了哪些元素了

# 周四

排列问题也要去重了,在回溯算法:排列问题(二) (opens new window)中又一次强调了“树层去重”和“树枝去重”。

树形结构如下:

47.全排列II1

这道题目神奇的地方就是used[i - 1] == false也可以,used[i - 1] == true也可以!

我就用输入: [1,1,1] 来举一个例子。

树层上去重(used[i - 1] == false),的树形结构如下:

47.全排列II2.png

树枝上去重(used[i - 1] == true)的树型结构如下:

47.全排列II3

可以清晰的看到使用(used[i - 1] == false),即树层去重,效率更高!

# 性能分析

之前并没有分析各个问题的时间复杂度和空间复杂度,这次来说一说。

这块网上的资料鱼龙混杂,一些所谓的经典面试书籍根本不讲回溯算法,算法书籍对这块也避而不谈,感觉就像是算法里模糊的边界。

所以这块就说一说我个人理解,对内容持开放态度,集思广益,欢迎大家来讨论!

子集问题分析:

  • 时间复杂度:O(n * 2^n),因为每一个元素的状态无外乎取与不取,所以时间复杂度为O(2^n),构造每一组子集都需要填进数组,又有需要O(n),最终时间复杂度:O(n * 2^n)
  • 空间复杂度:O(n),递归深度为n,所以系统栈所用空间为O(n),每一层递归所用的空间都是常数级别,注意代码里的result和path都是全局变量,就算是放在参数里,传的也是引用,并不会新申请内存空间,最终空间复杂度为O(n)

排列问题分析:

  • 时间复杂度:O(n!),这个可以从排列的树形图中很明显发现,每一层节点为n,第二层每一个分支都延伸了n-1个分支,再往下又是n-2个分支,所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * ..... 1 = n!。
  • 空间复杂度:O(n),和子集问题同理。

组合问题分析:

  • 时间复杂度:O(n * 2^n),组合问题其实就是一种子集的问题,所以组合问题最坏的情况,也不会超过子集问题的时间复杂度。
  • 空间复杂度:O(n),和子集问题同理。

一般说道回溯算法的复杂度,都说是指数级别的时间复杂度,这也算是一个概括吧!

# 总结

本周我们对子集问题进行了去重 (opens new window),然后介绍了和子集问题非常像的递增子序列 (opens new window),如果还保持惯性思维,这道题就可以掉坑里。

接着介绍了排列问题! (opens new window),以及对排列问题如何进行去重 (opens new window)

最后我补充了子集问题,排列问题和组合问题的性能分析,给大家提供了回溯算法复杂度的分析思路。