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和子集问题有点像,但又处处是陷阱

# 491.递增子序列

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列,递增子序列的长度至少是2。

示例:

  • 输入: [4, 6, 7, 7]
  • 输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]

说明:

  • 给定数组的长度不会超过15。
  • 数组中的整数范围是 [-100,100]。
  • 给定数组中可能包含重复数字,相等的数字应该被视为递增的一种情况。

# 思路

如果对回溯算法基础还不了解的话,我还特意录制了一期视频:带你学透回溯算法(理论篇) (opens new window) 可以结合题解和视频一起看,希望对大家理解回溯算法有所帮助。

这个递增子序列比较像是取有序的子集。而且本题也要求不能有相同的递增子序列。

这又是子集,又是去重,是不是不由自主的想起了刚刚讲过的90.子集II (opens new window)

就是因为太像了,更要注意差别所在,要不就掉坑里了!

90.子集II (opens new window)中我们是通过排序,再加一个标记数组来达到去重的目的。

而本题求自增子序列,是不能对原数组经行排序的,排完序的数组都是自增子序列了。

所以不能使用之前的去重逻辑!

本题给出的示例,还是一个有序数组 [4, 6, 7, 7],这更容易误导大家按照排序的思路去做了。

为了有鲜明的对比,我用[4, 7, 6, 7]这个数组来举例,抽象为树形结构如图:

491. 递增子序列1

# 回溯三部曲

  • 递归函数参数

本题求子序列,很明显一个元素不能重复使用,所以需要startIndex,调整下一层递归的起始位置。

代码如下:

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex)
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  • 终止条件

本题其实类似求子集问题,也是要遍历树形结构找每一个节点,所以和回溯算法:求子集问题! (opens new window)一样,可以不加终止条件,startIndex每次都会加1,并不会无限递归。

但本题收集结果有所不同,题目要求递增子序列大小至少为2,所以代码如下:

if (path.size() > 1) {
    result.push_back(path);
    // 注意这里不要加return,因为要取树上的所有节点
}
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  • 单层搜索逻辑

491. 递增子序列1 在图中可以看出,同一父节点下的同层上使用过的元素就不能在使用了

那么单层搜索代码如下:

unordered_set<int> uset; // 使用set来对本层元素进行去重
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
    if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
            || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
            continue;
    }
    uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了,本层后面不能再用了
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, i + 1);
    path.pop_back();
}
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对于已经习惯写回溯的同学,看到递归函数上面的uset.insert(nums[i]);,下面却没有对应的pop之类的操作,应该很不习惯吧,哈哈

这也是需要注意的点,unordered_set<int> uset; 是记录本层元素是否重复使用,新的一层uset都会重新定义(清空),所以要知道uset只负责本层!

最后整体C++代码如下:

// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
            // 注意这里不要加return,要取树上的节点
        }
        unordered_set<int> uset; // 使用set对本层元素进行去重
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
                    continue;
            }
            uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了,本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};
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# 优化

以上代码用我用了unordered_set<int>来记录本层元素是否重复使用。

其实用数组来做哈希,效率就高了很多

注意题目中说了,数值范围[-100,100],所以完全可以用数组来做哈希。

程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert,unordered_set需要做哈希映射(也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值)相对费时间,而且每次重新定义set,insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充,也是费事的。

那么优化后的代码如下:

// 版本二
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
        }
        int used[201] = {0}; // 这里使用数组来进行去重操作,题目说数值范围[-100, 100]
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || used[nums[i] + 100] == 1) {
                    continue;
            }
            used[nums[i] + 100] = 1; // 记录这个元素在本层用过了,本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};
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这份代码在leetcode上提交,要比版本一耗时要好的多。

所以正如在哈希表:总结篇!(每逢总结必经典) (opens new window)中说的那样,数组,set,map都可以做哈希表,而且数组干的活,map和set都能干,但如果数值范围小的话能用数组尽量用数组

# 总结

本题题解清一色都说是深度优先搜索,但我更倾向于说它用回溯法,而且本题我也是完全使用回溯法的逻辑来分析的。

相信大家在本题中处处都能看到是回溯算法:求子集问题(二) (opens new window)的身影,但处处又都是陷阱。

对于养成思维定式或者套模板套嗨了的同学,这道题起到了很好的警醒作用。更重要的是拓展了大家的思路!

就酱,如果感觉「代码随想录」很干货,就帮Carl宣传一波吧!

# 其他语言版本

# Java

class Solution {
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backtracking(nums,0);
        return res;
    }

    private void backtracking (int[] nums, int start) {
        if (path.size() > 1) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }

        int[] used = new int[201];
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.get(path.size() - 1) ||
                    (used[nums[i] + 100] == 1)) continue;
            used[nums[i] + 100] = 1;
            path.add(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}
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# Python

python3 回溯

class Solution:
    def __init__(self):
        self.paths = []
        self.path = []

    def findSubsequences(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        '''
        本题求自增子序列,所以不能改变原数组顺序
        '''
        self.backtracking(nums, 0)
        return self.paths

    def backtracking(self, nums: List[int], start_index: int):
        # 收集结果,同78.子集,仍要置于终止条件之前
        if len(self.path) >= 2:
            # 本题要求所有的节点
            self.paths.append(self.path[:])
        
        # Base Case(可忽略)
        if start_index == len(nums):
            return

        # 单层递归逻辑
        # 深度遍历中每一层都会有一个全新的usage_list用于记录本层元素是否重复使用
        usage_list = set()
        # 同层横向遍历
        for i in range(start_index, len(nums)):
            # 若当前元素值小于前一个时(非递增)或者曾用过,跳入下一循环
            if (self.path and nums[i] < self.path[-1]) or nums[i] in usage_list:
                continue
            usage_list.add(nums[i])
            self.path.append(nums[i])
            self.backtracking(nums, i+1)
            self.path.pop() 
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回溯+哈希表去重

class Solution:
    def __init__(self):
        self.paths = []
        self.path = []

    def findSubsequences(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        '''
        本题求自增子序列,所以不能改变原数组顺序
        '''
        self.backtracking(nums, 0)
        return self.paths

    def backtracking(self, nums: List[int], start_index: int):
        # 收集结果,同78.子集,仍要置于终止条件之前
        if len(self.path) >= 2:
            # 本题要求所有的节点
            self.paths.append(self.path[:])
        
        # Base Case(可忽略)
        if start_index == len(nums):
            return

        # 单层递归逻辑
        # 深度遍历中每一层都会有一个全新的usage_list用于记录本层元素是否重复使用
        usage_list = [False] * 201  # 使用列表去重,题中取值范围[-100, 100]
        # 同层横向遍历
        for i in range(start_index, len(nums)):
            # 若当前元素值小于前一个时(非递增)或者曾用过,跳入下一循环
            if (self.path and nums[i] < self.path[-1]) or usage_list[nums[i]+100] == True:
                continue
            usage_list[nums[i]+100] = True
            self.path.append(nums[i])
            self.backtracking(nums, i+1)
            self.path.pop() 
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# Go

func findSubsequences(nums []int) [][]int {
    var subRes []int
    var res [][]int
    backTring(0,nums,subRes,&res)
    return res
}
func backTring(startIndex int,nums,subRes []int,res *[][]int){
    if len(subRes)>1{
    tmp:=make([]int,len(subRes))
    copy(tmp,subRes)
    *res=append(*res,tmp)
    }
    history:=[201]int{}//记录本层元素使用记录
    for i:=startIndex;i<len(nums);i++{
        //分两种情况判断:一,当前取的元素小于子集的最后一个元素,则继续寻找下一个适合的元素
        //                或者二,当前取的元素在本层已经出现过了,所以跳过该元素,继续寻找
        if len(subRes)>0&&nums[i]<subRes[len(subRes)-1]||history[nums[i] + 100]==1{
            continue
        }
        history[nums[i] + 100]=1//表示本层该元素使用过了
        subRes=append(subRes,nums[i])
        backTring(i+1,nums,subRes,res)
        subRes=subRes[:len(subRes)-1]
    }
}
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# Javascript


var findSubsequences = function(nums) {
    let result = []
    let path = []
    function backtracing(startIndex) {
        if(path.length > 1) {
            result.push(path.slice())
        }
        let uset = []
        for(let i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            if((path.length > 0 && nums[i] < path[path.length - 1]) || uset[nums[i] + 100]) {
                continue
            }
            uset[nums[i] + 100] = true
            path.push(nums[i])
            backtracing(i + 1)
            path.pop()
        }
    }
    backtracing(0)
    return result
};

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# C

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;
int* length;
//将当前path中的内容复制到ans中
void copy() {
    int* tempPath = (int*)malloc(sizeof(int) * pathTop);
    memcpy(tempPath, path, pathTop * sizeof(int));
    length[ansTop] = pathTop;
    ans[ansTop++] = tempPath;
}

//查找uset中是否存在值为key的元素
int find(int* uset, int usetSize, int key) {
    int i;
    for(i = 0; i < usetSize; i++) {
        if(uset[i] == key)
            return 1;
    }
    return 0;
}

void backTracking(int* nums, int numsSize, int startIndex) {
    //当path中元素大于1个时,将path拷贝到ans中
    if(pathTop > 1) {
        copy();
    }
    int* uset = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
    int usetTop = 0;
    int i;
    for(i = startIndex; i < numsSize; i++) {
        //若当前元素小于path中最后一位元素 || 在树的同一层找到了相同的元素,则continue
        if((pathTop > 0 && nums[i] < path[pathTop - 1]) || find(uset, usetTop, nums[i]))
            continue;
        //将当前元素放入uset
        uset[usetTop++] = nums[i];
        //将当前元素放入path
        path[pathTop++] = nums[i];
        backTracking(nums, numsSize, i + 1);
        //回溯
        pathTop--;
    }
}

int** findSubsequences(int* nums, int numsSize, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //辅助数组初始化
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 33000);
    length = (int*)malloc(sizeof(int*) * 33000);
    pathTop = ansTop = 0;

    backTracking(nums, numsSize, 0);

    //设置数组中返回元素个数,以及每个一维数组的长度
    *returnSize = ansTop;
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) * ansTop);
    int i;
    for(i = 0; i < ansTop; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = length[i];
    }
    return ans;
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