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# 第77题. 组合

力扣题目链接 (opens new window)

给定两个整数 n 和 k,返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ]

# 算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课 (opens new window)带你学透回溯算法-组合问题(对应力扣题目:77.组合) (opens new window)组合问题的剪枝操作 (opens new window),相信结合视频在看本篇题解,更有助于大家对本题的理解

# 思路

本题是回溯法的经典题目。

直接的解法当然是使用for循环,例如示例中k为2,很容易想到 用两个for循环,这样就可以输出 和示例中一样的结果。

代码如下:

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}
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输入:n = 100, k = 3 那么就三层for循环,代码如下:

int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
            cout << i << " " << j << " " << u << endl;
        }
    }
}
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如果n为100,k为50呢,那就50层for循环,是不是开始窒息

此时就会发现虽然想暴力搜索,但是用for循环嵌套连暴力都写不出来!

咋整?

回溯搜索法来了,虽然回溯法也是暴力,但至少能写出来,不像for循环嵌套k层让人绝望。

那么回溯法怎么暴力搜呢?

上面我们说了要解决 n为100,k为50的情况,暴力写法需要嵌套50层for循环,那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题

递归来做层叠嵌套(可以理解是开k层for循环),每一次的递归中嵌套一个for循环,那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了

此时递归的层数大家应该知道了,例如:n为100,k为50的情况下,就是递归50层。

一些同学本来对递归就懵,回溯法中递归还要嵌套for循环,可能就直接晕倒了!

如果脑洞模拟回溯搜索的过程,绝对可以让人窒息,所以需要抽象图形结构来进一步理解。

我们在关于回溯算法,你该了解这些! (opens new window)中说到回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构(N叉树),用树形结构来理解回溯就容易多了

那么我把组合问题抽象为如下树形结构:

77.组合

可以看出这棵树,一开始集合是 1,2,3,4, 从左向右取数,取过的数,不再重复取。

第一次取1,集合变为2,3,4 ,因为k为2,我们只需要再取一个数就可以了,分别取2,3,4,得到集合[1,2] [1,3] [1,4],以此类推。

每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围

图中可以发现n相当于树的宽度,k相当于树的深度

那么如何在这个树上遍历,然后收集到我们要的结果集呢?

图中每次搜索到了叶子节点,我们就找到了一个结果

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来,就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

关于回溯算法,你该了解这些! (opens new window)中我们提到了回溯法三部曲,那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。

# 回溯法三部曲

  • 递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量,一个用来存放符合条件单一结果,一个用来存放符合条件结果的集合。

代码如下:

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
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其实不定义这两个全局变量也是可以的,把这两个变量放进递归函数的参数里,但函数里参数太多影响可读性,所以我定义全局变量了。

函数里一定有两个参数,既然是集合n里面取k个数,那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数,为int型变量startIndex,这个参数用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。

为什么要有这个startIndex呢?

建议在77.组合视频讲解 (opens new window)中,07:36的时候开始听,startIndex 就是防止出现重复的组合

从下图中红线部分可以看出,在集合[1,2,3,4]取1之后,下一层递归,就要在[2,3,4]中取数了,那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢,靠的就是startIndex。

77.组合2

所以需要startIndex来记录下一层递归,搜索的起始位置。

那么整体代码如下:

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)
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  • 回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢?

path这个数组的大小如果达到k,说明我们找到了一个子集大小为k的组合了,在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

如图红色部分:

77.组合3

此时用result二维数组,把path保存起来,并终止本层递归。

所以终止条件代码如下:

if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
}
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  • 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程,在如下图中,可以看出for循环用来横向遍历,递归的过程是纵向遍历。

77.组合1

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历,然后用path保存取到的节点i。

代码如下:

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归:控制树的纵向遍历,注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
}
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可以看出backtracking(递归函数)通过不断调用自己一直往深处遍历,总会遇到叶子节点,遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了,撤销本次处理的结果。

关键地方都讲完了,组合问题C++完整代码如下:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};
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  • 时间复杂度: O(n * 2^n)
  • 空间复杂度: O(n)

还记得我们在关于回溯算法,你该了解这些! (opens new window)中给出的回溯法模板么?

如下:

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {
        处理节点;
        backtracking(路径,选择列表); // 递归
        回溯,撤销处理结果
    }
}
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对比一下本题的代码,是不是发现有点像! 所以有了这个模板,就有解题的大体方向,不至于毫无头绪。

# 总结

组合问题是回溯法解决的经典问题,我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子,就是n为100,k为50的话,直接想法就需要50层for循环。

从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。

然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构,可以直观的看出搜索的过程。

接着用回溯法三部曲,逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。

# 剪枝优化

我们说过,回溯法虽然是暴力搜索,但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码:

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.push_back(i);
    backtracking(n, k, i + 1);
    path.pop_back();
}
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这个遍历的范围是可以剪枝优化的,怎么优化呢?

来举一个例子,n = 4,k = 4的话,那么第一层for循环的时候,从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环,从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象,如图所示:

77.组合4

图中每一个节点(图中为矩形),就代表本层的一个for循环,那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话,都没有意义,都是无效遍历。

所以,可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了,那么就没有必要搜索了

注意代码中i,就是for循环里选择的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
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接下来看一下优化过程如下:

  1. 已经选择的元素个数:path.size();

  2. 还需要的元素个数为: k - path.size();

  3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1,开始遍历

为什么有个+1呢,因为包括起始位置,我们要是一个左闭的集合。

举个例子,n = 4,k = 3, 目前已经选取的元素为0(path.size为0),n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的,可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话,建议也举一个例子,就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是:

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置
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优化后整体代码如下:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};
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# 剪枝总结

本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化,这个优化如果不画图的话,其实不好理解,也不好讲清楚。

所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构,然后可以直观的看出,剪枝究竟是剪的哪里。

# 其他语言版本

# Java:

未剪枝优化

class Solution {
    List<List<Integer>> result= new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n,k,1);
        return result;
    }

    public void backtracking(int n,int k,int startIndex){
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i =startIndex;i<=n;i++){
            path.add(i);
            backtracking(n,k,i+1);
            path.removeLast();
        }
    }
}
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剪枝优化:

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        combineHelper(n, k, 1);
        return result;
    }

    /**
     * 每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围,就是要靠startIndex
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。
     */
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
        //终止条件
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
            path.add(i);
            combineHelper(n, k, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}
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# Python

未剪枝优化

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        result = []  # 存放结果集
        self.backtracking(n, k, 1, [], result)
        return result
    def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
        if len(path) == k:
            result.append(path[:])
            return
        for i in range(startIndex, n + 1):  # 需要优化的地方
            path.append(i)  # 处理节点
            self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
            path.pop()  # 回溯,撤销处理的节点

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剪枝优化:

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        result = []  # 存放结果集
        self.backtracking(n, k, 1, [], result)
        return result
    def backtracking(self, n, k, startIndex, path, result):
        if len(path) == k:
            result.append(path[:])
            return
        for i in range(startIndex, n - (k - len(path)) + 2):  # 优化的地方
            path.append(i)  # 处理节点
            self.backtracking(n, k, i + 1, path, result)
            path.pop()  # 回溯,撤销处理的节点

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# Go

var (
    path []int
    res  [][]int
)

func combine(n int, k int) [][]int {
    path, res = make([]int, 0, k), make([][]int, 0)
    dfs(n, k, 1)
    return res
}

func dfs(n int, k int, start int) {
    if len(path) == k {  // 说明已经满足了k个数的要求
        tmp := make([]int, k)
        copy(tmp, path)
        res = append(res, tmp)
        return
    }
    for i := start; i <= n; i++ {  // 从start开始,不往回走,避免出现重复组合
        if n - i + 1 < k - len(path) {  // 剪枝
            break
        }
        path = append(path, i)
        dfs(n, k, i+1)
        path = path[:len(path)-1]
    }
}
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# Javascript

剪枝:

let result = []
let path = []
var combine = function(n, k) {
  result = []
  combineHelper(n, k, 1)
  return result
};
const combineHelper = (n, k, startIndex) => {
  if (path.length === k) {
    result.push([...path])
    return
  }
  for (let i = startIndex; i <= n - (k - path.length) + 1; ++i) {
    path.push(i)
    combineHelper(n, k, i + 1)
    path.pop()
  }
}
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# TypeScript

function combine(n: number, k: number): number[][] {
    let resArr: number[][] = [];
    function backTracking(n: number, k: number, startIndex: number, tempArr: number[]): void {
        if (tempArr.length === k) {
            resArr.push(tempArr.slice());
            return;
        }
        for (let i = startIndex; i <= n - k + 1 + tempArr.length; i++) {
            tempArr.push(i);
            backTracking(n, k, i + 1, tempArr);
            tempArr.pop();
        }
    }
    backTracking(n, k, 1, []);
    return resArr;
};
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# Rust

impl Solution {
    fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, n: i32, k: i32, start_index: i32) {
        let len= path.len() as i32;
        if len == k{
            result.push(path.to_vec());
            return;
        }
        for i in start_index..= n {
            path.push(i);
            Self::backtracking(result, path, n, k, i+1);
            path.pop();
        }
    }
    pub fn combine(n: i32, k: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut result = vec![];
        let mut path = vec![];
        Self::backtracking(&mut result, &mut path, n, k, 1);
        result
    }
}
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剪枝

impl Solution {
    fn backtracking(result: &mut Vec<Vec<i32>>, path: &mut Vec<i32>, n: i32, k: i32, start_index: i32) {
        let len= path.len() as i32;
        if len == k{
            result.push(path.to_vec());
            return;
        }
	// 此处剪枝
        for i in start_index..= n - (k - len) + 1 {
            path.push(i);
            Self::backtracking(result, path, n, k, i+1);
            path.pop();
        }
    }
    pub fn combine(n: i32, k: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut result = vec![];
        let mut path = vec![];
        Self::backtracking(&mut result, &mut path, n, k, 1);
        result
    }
}
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# C

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;

void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
    //当path中元素个数为k个时,我们需要将path数组放入ans二维数组中
    if(pathTop == k) {
        //path数组为我们动态申请,若直接将其地址放入二维数组,path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
        //因此创建新的数组存储path中的值
        int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
        int i;
        for(i = 0; i < k; i++) {
            temp[i] = path[i];
        }
        ans[ansTop++] = temp;
        return ;
    }

    int j;
    for(j = startIndex; j <=n ;j++) {
        //将当前结点放入path数组
        path[pathTop++] = j;
        //进行递归
        backtracking(n, k, j + 1);
        //进行回溯,将数组最上层结点弹出
        pathTop--;
    }
}

int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //path数组存储符合条件的结果
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    //ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。(数组足够大,避免极端情况)
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
    pathTop = ansTop = 0;

    //回溯算法
    backtracking(n, k, 1);
    //最后的返回大小为ans数组大小
    *returnSize = ansTop;
    //returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度(都为k)
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
    int i;
    for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = k;
    }
    //返回ans二维数组
    return ans;
}
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剪枝:

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;

void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
    //当path中元素个数为k个时,我们需要将path数组放入ans二维数组中
    if(pathTop == k) {
        //path数组为我们动态申请,若直接将其地址放入二维数组,path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
        //因此创建新的数组存储path中的值
        int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
        int i;
        for(i = 0; i < k; i++) {
            temp[i] = path[i];
        }
        ans[ansTop++] = temp;
        return ;
    }

    int j;
    for(j = startIndex; j <= n- (k - pathTop) + 1;j++) {
        //将当前结点放入path数组
        path[pathTop++] = j;
        //进行递归
        backtracking(n, k, j + 1);
        //进行回溯,将数组最上层结点弹出
        pathTop--;
    }
}

int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //path数组存储符合条件的结果
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    //ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。(数组足够大,避免极端情况)
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
    pathTop = ansTop = 0;

    //回溯算法
    backtracking(n, k, 1);
    //最后的返回大小为ans数组大小
    *returnSize = ansTop;
    //returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度(都为k)
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
    int i;
    for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = k;
    }
    //返回ans二维数组
    return ans;
}
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# Swift

func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
    var path = [Int]()
    var result = [[Int]]()
    func backtracking(start: Int) {
        // 结束条件,并收集结果
        if path.count == k {
            result.append(path)
            return
        }

        // 单层逻辑
        // let end = n
        // 剪枝优化
        let end = n - (k - path.count) + 1
        guard start <= end else { return }
        for i in start ... end {
            path.append(i) // 处理结点
            backtracking(start: i + 1) // 递归
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }

    backtracking(start: 1)
    return result
}
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# Scala

暴力:

object Solution {
  import scala.collection.mutable // 导包
  def combine(n: Int, k: Int): List[List[Int]] = {
    var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]() // 存放结果集
    var path = mutable.ListBuffer[Int]() //存放符合条件的结果

    def backtracking(n: Int, k: Int, startIndex: Int): Unit = {
      if (path.size == k) {
        // 如果path的size == k就达到题目要求,添加到结果集,并返回
        result.append(path.toList)
        return
      }
      for (i <- startIndex to n) { // 遍历从startIndex到n
        path.append(i) // 先把数字添加进去
        backtracking(n, k, i + 1) // 进行下一步回溯
        path = path.take(path.size - 1) // 回溯完再删除掉刚刚添加的数字
      }
    }

    backtracking(n, k, 1) // 执行回溯
    result.toList // 最终返回result的List形式,return关键字可以省略
  }
}
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剪枝:

object Solution {
  import scala.collection.mutable // 导包
  def combine(n: Int, k: Int): List[List[Int]] = {
    var result = mutable.ListBuffer[List[Int]]() // 存放结果集
    var path = mutable.ListBuffer[Int]() //存放符合条件的结果

    def backtracking(n: Int, k: Int, startIndex: Int): Unit = {
      if (path.size == k) {
        // 如果path的size == k就达到题目要求,添加到结果集,并返回
        result.append(path.toList)
        return
      }
      // 剪枝优化
      for (i <- startIndex to (n - (k - path.size) + 1)) {
        path.append(i) // 先把数字添加进去
        backtracking(n, k, i + 1) // 进行下一步回溯
        path = path.take(path.size - 1) // 回溯完再删除掉刚刚添加的数字
      }
    }

    backtracking(n, k, 1) // 执行回溯
    result.toList // 最终返回result的List形式,return关键字可以省略
  }
}
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# Ruby


def combine(n, k)
  result = []
  path = []
  backtracking(result, path, n, 1, k)
  return result
end

#剪枝优化
def backtracking(result, path, n, j, k)
  if path.size == k
    result << path.map {|item| item}
    return
  end

  for i in j..(n-(k - path.size)) + 1
    #处理节点
    path << i
    backtracking(result, path, n, i + 1, k)
    #回溯,撤销处理过的节点
    path.pop
  end
end

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上次更新:: 11/30/2023, 10:16:49 AM
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