207. 课程表

力扣题目链接 (opens new window)

题目描述

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [a, b]，表示如果要学习课程 a，必须先完成课程 b。

请判断是否可能完成所有课程。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：先学习课程 0，再学习课程 1。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：两门课程互相依赖，形成了环。

提示：

• 1 <= numCourses <= 2000
• 0 <= prerequisites.length <= 5000
• prerequisites[i].length == 2
• 所有课程对互不相同

思路

先把课程关系翻译成图。

[a, b] 表示学 a 之前必须学 b，所以应该连一条 b -> a 的有向边。这里千万别把方向写反了。

什么时候所有课程无法完成？课程依赖图中出现环的时候。

例如 0 -> 1 -> 0，想学 0 要先学 1，想学 1 又要先学 0，谁也不能成为第一门课。

拓扑排序不是普通意义上的数值排序，而是把一个有向无环图转换成线性顺序。实现拓扑排序可以使用 Kahn 算法（BFS），也可以使用 DFS，本题掌握更直观的 BFS 即可。

以代码随想录图论章节中的依赖图为例：

为什么肉眼能找到节点 0 作为开头？因为它的入度为 0，没有任何节点指向它。只有这样的节点，才不需要等待其他前置任务。

本题用 Kahn 算法做拓扑排序：

1. 统计每门课程的入度，入度表示还有多少门先修课没有完成；
2. 把所有入度为 0 的课程加入队列，它们现在就可以学习；
3. 每学完一门课，就删除它指向的边，让后续课程的入度减一；
4. 某门后续课程的入度变为 0 时，加入队列；
5. 最后比较学完的课程数和 numCourses。

为什么剩下的课程就是环？如果队列已经空了，却还有课程没学，说明剩余每个节点的入度都大于 0。它们互相等待，不可能再找到一个合法起点。

拓扑排序的本质，就是反复找到入度为 0 的节点，将它加入结果集，再将它从图中移除。 代码中不需要真的删除节点，只要把它指向节点的入度减一即可。

模拟过程

先找到入度为 0 的节点 0，将它加入结果集：

移除节点 0，也就是将它指向节点的入度减一：

此时节点 1 和节点 2 的入度都变为 0，选哪一个都可以，所以拓扑排序结果可能不唯一。这里先选择节点 1：

移除节点 1 后继续寻找入度为 0 的节点：

不断重复“选入度为 0 的节点、将其指向节点的入度减一”，就能得到一条合法顺序。

如果图中存在有向环，会发生什么？

节点 0 被处理之后，剩余节点形成环，再也找不到入度为 0 的节点。此时处理过的节点数小于课程总数，就可以判断无法完成全部课程。

解题代码

class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        vector<vector<int>> graph(numCourses);
        vector<int> inDegree(numCourses, 0);

        for (const auto& edge : prerequisites) {
            int course = edge[0];
            int prerequisite = edge[1];
            graph[prerequisite].push_back(course); // 先修课指向后续课
            ++inDegree[course];
        }

        queue<int> courses;
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (inDegree[i] == 0) courses.push(i);
        }

        int learned = 0;
        while (!courses.empty()) {
            int current = courses.front();
            courses.pop();
            ++learned;

            for (int next : graph[current]) {
                --inDegree[next]; // current 学完，移除一条前置依赖
                if (inDegree[next] == 0) courses.push(next);
            }
        }

        return learned == numCourses;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(V + E)，V 是课程数，E 是依赖关系数。
• 空间复杂度：O(V + E)，邻接表、入度数组和队列所需空间。

其他语言

Python3

from collections import deque

class Solution:
    def canFinish(self, numCourses, prerequisites):
        graph = [[] for _ in range(numCourses)]
        in_degree = [0] * numCourses
        for course, prerequisite in prerequisites:
            graph[prerequisite].append(course)
            in_degree[course] += 1

        queue = deque(i for i in range(numCourses) if in_degree[i] == 0)
        learned = 0
        while queue:
            current = queue.popleft()
            learned += 1
            for next_course in graph[current]:
                in_degree[next_course] -= 1
                if in_degree[next_course] == 0:
                    queue.append(next_course)
        return learned == numCourses

Java

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        List<List<Integer>> graph = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) graph.add(new ArrayList<>());
        int[] inDegree = new int[numCourses];

        for (int[] edge : prerequisites) {
            graph.get(edge[1]).add(edge[0]);
            inDegree[edge[0]]++;
        }

        Queue<Integer> queue = new ArrayDeque<>();
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if (inDegree[i] == 0) queue.offer(i);
        }

        int learned = 0;
        while (!queue.isEmpty()) {
            int current = queue.poll();
            learned++;
            for (int next : graph.get(current)) {
                if (--inDegree[next] == 0) queue.offer(next);
            }
        }
        return learned == numCourses;
    }
}

Go

func canFinish(numCourses int, prerequisites [][]int) bool {
    graph := make([][]int, numCourses)
    inDegree := make([]int, numCourses)
    for _, edge := range prerequisites {
        course, prerequisite := edge[0], edge[1]
        graph[prerequisite] = append(graph[prerequisite], course)
        inDegree[course]++
    }

    queue := []int{}
    for i, degree := range inDegree {
        if degree == 0 { queue = append(queue, i) }
    }

    learned := 0
    for len(queue) > 0 {
        current := queue[0]
        queue = queue[1:]
        learned++
        for _, next := range graph[current] {
            inDegree[next]--
            if inDegree[next] == 0 { queue = append(queue, next) }
        }
    }
    return learned == numCourses
}

JS

var canFinish = function(numCourses, prerequisites) {
    const graph = Array.from({ length: numCourses }, () => []);
    const inDegree = new Array(numCourses).fill(0);

    for (const [course, prerequisite] of prerequisites) {
        graph[prerequisite].push(course);
        inDegree[course]++;
    }

    const queue = [];
    for (let i = 0; i < numCourses; i++) {
        if (inDegree[i] === 0) queue.push(i);
    }

    let learned = 0, front = 0;
    while (front < queue.length) {
        const current = queue[front++];
        learned++;
        for (const next of graph[current]) {
            inDegree[next]--;
            if (inDegree[next] === 0) queue.push(next);
        }
    }
    return learned === numCourses;
};

与代码随想录联系

代码随想录的207.课程表讲解了同一套拓扑排序思路，图论主线中的拓扑排序则使用 ACM 输入输出模式完整实现。

做完本题可以继续做210.课程表 II。本题只问能不能完成，210 题还要返回一种合法的学习顺序，队列中节点的出队顺序正好就是答案。