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# 647. 回文子串

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个字符串,你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串,即使是由相同的字符组成,也会被视作不同的子串。

示例 1:

输入:"abc" 输出:3 解释:三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2:

输入:"aaa" 输出:6 解释:6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示:

输入的字符串长度不会超过 1000 。

# 暴力解法

两层for循环,遍历区间起始位置和终止位置,然后判断这个区间是不是回文。

时间复杂度:O(n^3)

# 动态规划

动规五部曲:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

布尔类型的dp[i][j]:表示区间范围[i,j] (注意是左闭右闭)的子串是否是回文子串,如果是dp[i][j]为true,否则为false。

  1. 确定递推公式

在确定递推公式时,就要分析如下几种情况。

整体上是两种,就是s[i]与s[j]相等,s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等,那没啥好说的了,dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时,这就复杂一些了,有如下三种情况

  • 情况一:下标i 与 j相同,同一个字符例如a,当然是回文子串
  • 情况二:下标i 与 j相差为1,例如aa,也是文子串
  • 情况三:下标:i 与 j相差大于1的时候,例如cabac,此时s[i]与s[j]已经相同了,我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了,那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间,这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了,那么递归公式如下:

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}
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result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候,因为在下面dp[i][j]初始化的时候,就初始为false。

  1. dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么? 当然不行,怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

  1. 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出,情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true,在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角,如图:

647.回文子串

如果这矩阵是从上到下,从左到右遍历,那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1],也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1],来判断了[i,j]是不是回文,那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上,从左到右遍历,这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的

有的代码实现是优先遍历列,然后遍历行,其实也是一个道理,都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下:

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
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  1. 举例推导dp数组

举例,输入:"aaa",dp[i][j]状态如下:

647.回文子串1

图中有6个true,所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义,所以j一定是大于等于i的,那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};
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以上代码是为了凸显情况一二三,当然是可以简洁一下的,如下:

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    result++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return result;
    }
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  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n^2)

# 双指针法

动态规划的空间复杂度是偏高的,我们再看一下双指针法。

首先确定回文串,就是找中心然后想两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候,要注意中心点有两种情况

一个元素可以作为中心点,两个元素也可以作为中心点。

那么有人同学问了,三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到,四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候,要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

这两种情况可以放在一起计算,但分别计算思路更清晰,我倾向于分别计算,代码如下:

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            result += extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
            result += extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
        }
        return result;
    }
    int extend(const string& s, int i, int j, int n) {
        int res = 0;
        while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
            i--;
            j++;
            res++;
        }
        return res;
    }
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  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(1)

# 其他语言版本

Java:

动态规划:

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int len, ans = 0;
        if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
        //dp[i][j]:s字符串下标i到下标j的字串是否是一个回文串,即s[i, j]
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        for (int j = 0; j < len; j++) {
            for (int i = 0; i <= j; i++) {
                //当两端字母一样时,才可以两端收缩进一步判断
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    //i++,j--,即两端收缩之后i,j指针指向同一个字符或者i超过j了,必然是一个回文串
                    if (j - i < 3) {
                        dp[i][j] = true;
                    } else {
                        //否则通过收缩之后的字串判断
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                    }
                } else {//两端字符不一样,不是回文串
                    dp[i][j] = false;
                }
            }
        }
        //遍历每一个字串,统计回文串个数
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < len; j++) {
                if (dp[i][j]) ans++;
            }
        }
        return ans;
    }
}
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中心扩散法:

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int len, ans = 0;
        if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
        //总共有2 * len - 1个中心点
        for (int i = 0; i < 2 * len - 1; i++) {
            //通过遍历每个回文中心,向两边扩散,并判断是否回文字串
            //有两种情况,left == right,right = left + 1,这两种回文中心是不一样的
            int left = i / 2, right = left + i % 2;
            while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
                //如果当前是一个回文串,则记录数量
                ans++;
                left--;
                right++;
            }
        }
        return ans;
    }
}
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Python:

动态规划:

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
        result = 0
        for i in range(len(s)-1, -1, -1): #注意遍历顺序
            for j in range(i, len(s)):
                if s[i] == s[j]:
                    if j - i <= 1: #情况一 和 情况二
                        result += 1
                        dp[i][j] = True
                    elif dp[i+1][j-1]: #情况三
                        result += 1
                        dp[i][j] = True
        return result
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动态规划:简洁版

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
        result = 0
        for i in range(len(s)-1, -1, -1): #注意遍历顺序
            for j in range(i, len(s)):
                if s[i] == s[j] and (j - i <= 1 or dp[i+1][j-1]): 
                    result += 1
                    dp[i][j] = True
        return result
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双指针法:

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        result = 0
        for i in range(len(s)):
            result += self.extend(s, i, i, len(s)) #以i为中心
            result += self.extend(s, i, i+1, len(s)) #以i和i+1为中心
        return result
    
    def extend(self, s, i, j, n):
        res = 0
        while i >= 0 and j < n and s[i] == s[j]:
            i -= 1
            j += 1
            res += 1
        return res
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Go:

func countSubstrings(s string) int {
    res:=0
    dp:=make([][]bool,len(s))
    for i:=0;i<len(s);i++{
        dp[i]=make([]bool,len(s))
    }

    for i:=len(s)-1;i>=0;i--{
        for j:=i;j<len(s);j++{
            if s[i]==s[j]{
                if j-i<=1{
                    res++
                    dp[i][j]=true
                }else if dp[i+1][j-1]{
                    res++
                    dp[i][j]=true
                }
            }
        }
    }
    return res
}
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Javascript

动态规划

const countSubstrings = (s) => {
    const strLen = s.length;
    let numOfPalindromicStr = 0;
    let dp = Array.from(Array(strLen), () => Array(strLen).fill(false));

    for(let j = 0; j < strLen; j++) {
        for(let i = 0; i <= j; i++) {
            if(s[i] === s[j]) {
                if((j - i) < 2) {
                    dp[i][j] = true;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                }
                numOfPalindromicStr += dp[i][j] ? 1 : 0;
            }
        }
    }

    return numOfPalindromicStr;
}
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双指针法:

const countSubstrings = (s) => {
    const strLen = s.length;
    let numOfPalindromicStr = 0;

    for(let i = 0; i < 2 * strLen - 1; i++) {
        let left = Math.floor(i/2);
        let right = left + i % 2;

        while(left >= 0 && right < strLen && s[left] === s[right]){
            numOfPalindromicStr++;
            left--;
            right++;
        }
    }

    return numOfPalindromicStr;
}
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