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# 509. 斐波那契数

力扣题目链接 (opens new window)

斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是: F(0) = 0,F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1 给你n ,请计算 F(n) 。

示例 1: 输入:2 输出:1 解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2: 输入:3 输出:2 解释:F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3: 输入:4 输出:3 解释:F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示:

  • 0 <= n <= 30

# 思路

斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了,非常适合作为动规第一道题目来练练手。

因为这道题目比较简单,可能一些同学并不需要做什么分析,直接顺手一写就过了。

但「代码随想录」的风格是:简单题目是用来加深对解题方法论的理解的

通过这道题目让大家可以初步认识到,按照动规五部曲是如何解题的。

对于动规,如果没有方法论的话,可能简单题目可以顺手一写就过,难一点就不知道如何下手了。

所以我总结的动规五部曲,是要用来贯穿整个动态规划系列的,就像之前讲过二叉树系列的递归三部曲 (opens new window)回溯法系列的回溯三部曲 (opens new window)一样。后面慢慢大家就会体会到,动规五部曲方法的重要性。

# 动态规划

动规五部曲:

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]

  1. 确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢?

因为题目已经把递推公式直接给我们了:状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

  1. dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了,如下:

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
1
2
  1. 确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

  1. 举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],我们来推导一下,当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上我们用动规的方法分析完了,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        vector<int> dp(N + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[N];
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

当然可以发现,我们只需要维护两个数值就可以了,不需要记录整个序列。

代码如下:

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

# 递归解法

本题还可以使用递归解法来做

代码如下:

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N < 2) return N;
        return fib(N - 1) + fib(N - 2);
    }
};
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  • 时间复杂度:O(2^n)
  • 空间复杂度:O(n) 算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间

这个递归的时间复杂度大家画一下树形图就知道了,如果不清晰的同学,可以看这篇:通过一道面试题目,讲一讲递归算法的时间复杂度! (opens new window)

# 总结

斐波那契数列这道题目是非常基础的题目,我在后面的动态规划的讲解中将会多次提到斐波那契数列!

这里我严格按照关于动态规划,你该了解这些! (opens new window)中的动规五部曲来分析了这道题目,一些分析步骤可能同学感觉没有必要搞的这么复杂,代码其实上来就可以撸出来。

但我还是强调一下,简单题是用来掌握方法论的,动规五部曲将在接下来的动态规划讲解中发挥重要作用,敬请期待!

就酱,循序渐进学算法,认准「代码随想录」!

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) return n;
        int a = 0, b = 1, c = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
}
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Python:

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        a, b, c = 0, 1, 0
        for i in range(1, n):
            c = a + b
            a, b = b, c
        return c

# 递归实现
class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)
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Go:

func fib(n int) int {
    if n < 2 {
        return n
    }
    a, b, c := 0, 1, 0
    for i := 1; i < n; i++ {
        c = a + b
        a, b = b, c
    }
        return c
}
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Javascript:

var fib = function(n) {
    let dp = [0, 1]
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    console.log(dp)
    return dp[n]
};
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