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# 392.判断子序列

力扣题目链接 (opens new window)

给定字符串 s 和 t ,判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些(也可以不删除)字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。(例如,"ace"是"abcde"的一个子序列,而"aec"不是)。

示例 1: 输入:s = "abc", t = "ahbgdc" 输出:true

示例 2: 输入:s = "axc", t = "ahbgdc" 输出:false

提示:

  • 0 <= s.length <= 100
  • 0 <= t.length <= 10^4

两个字符串都只由小写字符组成。

# 思路

(这道题可以用双指针的思路来实现,时间复杂度就是O(n))

这道题应该算是编辑距离的入门题目,因为从题意中我们也可以发现,只需要计算删除的情况,不用考虑增加和替换的情况。

所以掌握本题也是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础

动态规划五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i][j]

注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。

有同学问了,为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢,为啥不表示下标i为结尾的字符串呢?

用i来表示也可以!

但我统一以下标i-1为结尾的字符串来计算,这样在下面的递归公式中会容易理解一些,如果还有疑惑,可以继续往下看。

  1. 确定递推公式

在确定递推公式的时候,首先要考虑如下两种操作,整理如下:

  • if (s[i - 1] == t[j - 1])
    • t中找到了一个字符在s中也出现了
  • if (s[i - 1] != t[j - 1])
    • 相当于t要删除元素,继续匹配

if (s[i - 1] == t[j - 1]),那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;,因为找到了一个相同的字符,相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1(如果不理解,在回看一下dp[i][j]的定义

if (s[i - 1] != t[j - 1]),此时相当于t要删除元素,t如果把当前元素t[j - 1]删除,那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了,即:dp[i][j] = dp[i][j - 1];

  1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。

这里大家已经可以发现,在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i][j]

因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间,如图:

392.判断子序列

如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t,初始化就比较麻烦了。

这里dp[i][0]和dp[0][j]是没有含义的,仅仅是为了给递推公式做前期铺垫,所以初始化为0。

其实这里只初始化dp[i][0]就够了,但一起初始化也方便,所以就一起操作了,代码如下:

vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
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  1. 确定遍历顺序

同理从从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],那么遍历顺序也应该是从上到下,从左到右

如图所示:

392.判断子序列1

  1. 举例推导dp数组

以示例一为例,输入:s = "abc", t = "ahbgdc",dp状态转移图如下:

392.判断子序列2

dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度,所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明:s与t的最长相同子序列就是s,那么s 就是 t 的子序列。

图中dp[s.size()][t.size()] = 3, 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列,返回true。

动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n * m)
  • 空间复杂度:O(n * m)

# 总结

这道题目算是编辑距离的入门题目(毕竟这里只是涉及到减法),也是动态规划解决的经典题型。

这一类题都是题目读上去感觉很复杂,模拟一下也发现很复杂,用动规分析完了也感觉很复杂,但是最终代码却很简短。

编辑距离的题目最能体现出动规精髓和巧妙之处,大家可以好好体会一下。

# 其他语言版本

Java:

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int length1 = s.length(); int length2 = t.length();
        int[][] dp = new int[length1+1][length2+1];
        for(int i = 1; i <= length1; i++){
            for(int j = 1; j <= length2; j++){
                if(s.charAt(i-1) == t.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        if(dp[length1][length2] == length1){
            return true;
        }else{
            return false;
        }
    }
}
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Python:

class Solution:
    def isSubsequence(self, s: str, t: str) -> bool:
        dp = [[0] * (len(t)+1) for _ in range(len(s)+1)]
        for i in range(1, len(s)+1):
            for j in range(1, len(t)+1):
                if s[i-1] == t[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = dp[i][j-1]
        if dp[-1][-1] == len(s):
            return True
        return False
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JavaScript:

const isSubsequence = (s, t) => {
    // s、t的长度
    const [m, n] = [s.length, t.length];
    // dp全初始化为0
    const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(x => new Array(n + 1).fill(0));
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            // 更新dp[i][j],两种情况
            if (s[i - 1] === t[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
    }
    // 遍历结束,判断dp右下角的数是否等于s的长度
    return dp[m][n] === m ? true : false;
};
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Go:

func isSubsequence(s string, t string) bool {
    dp := make([][]int,len(s)+1)
    for i:=0;i<len(dp);i++{
        dp[i] = make([]int,len(t)+1)
    }
    for i:=1;i<len(dp);i++{
        for j:=1;j<len(dp[i]);j++{
            if s[i-1] == t[j-1]{
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1
            }else{
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
            }
        }
    }
    return dp[len(s)][len(t)]==len(s)
}
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