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# 53. 最大子序和

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

# 思路

这道题之前我们在讲解贪心专题的时候用贪心算法解决过一次,贪心算法:最大子序和 (opens new window)

这次我们用动态规划的思路再来分析一次。

动规五部曲如下:

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]

  1. 确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来:

  • dp[i - 1] + nums[i],即:nums[i]加入当前连续子序列和
  • nums[i],即:从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

  1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态,dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

更具dp[i]的定义,很明显dp[0]因为为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

  1. 确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历。

  1. 举例推导dp数组

以示例一为例,输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],对应的dp状态如下: 53.最大子序和(动态规划)

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]! ,而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义:包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

那么我们要找最大的连续子序列,就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候,可以直接选出最大的dp[i]。

以上动规五部曲分析完毕,完整代码如下:

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};
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  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

# 总结

这道题目用贪心也很巧妙,但有一点绕,需要仔细想一想,如果想回顾一下贪心就看这里吧:贪心算法:最大子序和 (opens new window)

动规的解法还是很直接的。

# 其他语言版本

Java:

   /**
     * 1.dp[i]代表当前下标对应的最大值
     * 2.递推公式 dp[i] = max (dp[i-1]+nums[i],nums[i]) res = max(res,dp[i])
     * 3.初始化 都为 0
     * 4.遍历方向,从前往后
     * 5.举例推导结果。。。
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        int res = nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = res > dp[i] ? res : dp[i];
        }
        return res;
    }
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Python:

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums) == 0:
            return 0
        dp = [0] * len(nums)
        dp[0] = nums[0]
        result = dp[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]) #状态转移公式
            result = max(result, dp[i]) #result 保存dp[i]的最大值
        return result
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Go:

// solution
// 1, dp
// 2, 贪心

func maxSubArray(nums []int) int {
    n := len(nums)
    // 这里的dp[i] 表示,最大的连续子数组和,包含num[i] 元素
    dp := make([]int,n)
    // 初始化,由于dp 状态转移方程依赖dp[0]
    dp[0] = nums[0]
    // 初始化最大的和
    mx := nums[0]
    for i:=1;i<n;i++ {
        // 这里的状态转移方程就是:求最大和
        // 会面临2种情况,一个是带前面的和,一个是不带前面的和
        dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
        mx = max(mx,dp[i])
    }
    return mx
}

func max(a,b int) int{
    if a>b {
        return a 
    }
    return b
}
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JavaScript:

const maxSubArray = nums => {
    // 数组长度,dp初始化
    const [len, dp] = [nums.length, [nums[0]]];
    // 最大值初始化为dp[0]
    let max = dp[0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
        // 更新最大值
        max = Math.max(max, dp[i]);
    }
    return max;
};
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