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104.建造最大岛屿

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题目描述：

给定一个由 1（陆地）和 0（水）组成的矩阵，你最多可以将矩阵中的一格水变为一块陆地，在执行了此操作之后，矩阵中最大的岛屿面积是多少。

岛屿面积的计算方式为组成岛屿的陆地的总数。岛屿是被水包围，并且通过水平方向或垂直方向上相邻的陆地连接而成的。你可以假设矩阵外均被水包围。

输入描述：

第一行包含两个整数 N, M，表示矩阵的行数和列数。之后 N 行，每行包含 M 个数字，数字为 1 或者 0，表示岛屿的单元格。

输出描述：

输出一个整数，表示最大的岛屿面积。

输入示例：

4 5
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1

输出示例

6

提示信息

对于上面的案例，有两个位置可将 0 变成 1，使得岛屿的面积最大，即 6。

数据范围：

1 <= M, N <= 50。

思路

本题的一个暴力想法，应该是遍历地图尝试 将每一个 0 改成1，然后去搜索地图中的最大的岛屿面积。

计算地图的最大面积：遍历地图 + 深搜岛屿，时间复杂度为 n * n。

（其实使用深搜还是广搜都是可以的，其目的就是遍历岛屿做一个标记，相当于染色，那么使用哪个遍历方式都行，以下我用深搜来讲解）

每改变一个0的方格，都需要重新计算一个地图的最大面积，所以 整体时间复杂度为：n^4。

优化思路

其实每次深搜遍历计算最大岛屿面积，我们都做了很多重复的工作。

只要用一次深搜把每个岛屿的面积记录下来就好。

第一步：一次遍历地图，得出各个岛屿的面积，并做编号记录。可以使用map记录，key为岛屿编号，value为岛屿面积

第二步：再遍历地图，遍历0的方格（因为要将0变成1），并统计该1（由0变成的1）周边岛屿面积，将其相邻面积相加在一起，遍历所有 0 之后，就可以得出 选一个0变成1 之后的最大面积。

拿如下地图的岛屿情况来举例： （1为陆地）

第一步，则遍历题目，并将岛屿到编号和面积上的统计，过程如图所示：

本过程代码如下：

int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 四个方向
void dfs(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int x, int y, int mark) {
    if (visited[x][y] || grid[x][y] == 0) return; // 终止条件：访问过的节点 或者 遇到海水
    visited[x][y] = true; // 标记访问过
    grid[x][y] = mark; // 给陆地标记新标签
    count++;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int nextx = x + dir[i][0];
        int nexty = y + dir[i][1];
        if (nextx < 0 || nextx >= grid.size() || nexty < 0 || nexty >= grid[0].size()) continue;  // 越界了，直接跳过
        dfs(grid, visited, nextx, nexty, mark);
    }
}

int largestIsland(vector<vector<int>>& grid) {
    int n = grid.size(), m = grid[0].size();
    vector<vector<bool>> visited = vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(m, false)); // 标记访问过的点
    unordered_map<int ,int> gridNum;
    int mark = 2; // 记录每个岛屿的编号
    bool isAllGrid = true; // 标记是否整个地图都是陆地
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (grid[i][j] == 0) isAllGrid = false;
            if (!visited[i][j] && grid[i][j] == 1) {
                count = 0;
                dfs(grid, visited, i, j, mark); // 将与其链接的陆地都标记上 true
                gridNum[mark] = count; // 记录每一个岛屿的面积
                mark++; // 记录下一个岛屿编号
            }
        }
    }
}

这个过程时间复杂度 n * n 。可能有录友想：分明是两个for循环下面套这一个dfs，时间复杂度怎么回事 n * n呢？

其实大家可以仔细看一下代码，n * n这个方格地图中，每个节点我们就遍历一次，并不会重复遍历。

第二步过程如图所示：

也就是遍历每一个0的方格，并统计其相邻岛屿面积，最后取一个最大值。

这个过程的时间复杂度也为 n * n。

所以整个解法的时间复杂度，为 n * n + n * n 也就是 n^2。

当然这里还有一个优化的点，就是 可以不用 visited数组，因为有mark来标记，所以遍历过的grid[i][j]是不等于1的。

代码如下：

int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 四个方向
void dfs(vector<vector<int>>& grid, int x, int y, int mark) {
    if (grid[x][y] != 1 || grid[x][y] == 0) return; // 终止条件：访问过的节点 或者 遇到海水
    grid[x][y] = mark; // 给陆地标记新标签
    count++;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int nextx = x + dir[i][0];
        int nexty = y + dir[i][1];
        if (nextx < 0 || nextx >= n || nexty < 0 || nexty >= m) continue;  // 越界了，直接跳过
        dfs(grid, nextx, nexty, mark);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m, 0));

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> grid[i][j];
        }
    }
    unordered_map<int ,int> gridNum;
    int mark = 2; // 记录每个岛屿的编号
    bool isAllGrid = true; // 标记是否整个地图都是陆地
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (grid[i][j] == 0) isAllGrid = false;
            if (grid[i][j] == 1) {
                count = 0;
                dfs(grid, i, j, mark); // 将与其链接的陆地都标记上 true
                gridNum[mark] = count; // 记录每一个岛屿的面积
                mark++; // 记录下一个岛屿编号
            }
        }
    }

不过为了让各个变量各司其事，代码清晰一些，完整代码还是使用visited数组来标记。

最后，整体代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_set>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int n, m;
int count;

int dir[4][2] = {0, 1, 1, 0, -1, 0, 0, -1}; // 四个方向
void dfs(vector<vector<int>>& grid, vector<vector<bool>>& visited, int x, int y, int mark) {
    if (visited[x][y] || grid[x][y] == 0) return; // 终止条件：访问过的节点 或者 遇到海水
    visited[x][y] = true; // 标记访问过
    grid[x][y] = mark; // 给陆地标记新标签
    count++;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int nextx = x + dir[i][0];
        int nexty = y + dir[i][1];
        if (nextx < 0 || nextx >= n || nexty < 0 || nexty >= m) continue;  // 越界了，直接跳过
        dfs(grid, visited, nextx, nexty, mark);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m, 0));

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> grid[i][j];
        }
    }
    vector<vector<bool>> visited(n, vector<bool>(m, false)); // 标记访问过的点
    unordered_map<int ,int> gridNum;
    int mark = 2; // 记录每个岛屿的编号
    bool isAllGrid = true; // 标记是否整个地图都是陆地
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (grid[i][j] == 0) isAllGrid = false;
            if (!visited[i][j] && grid[i][j] == 1) {
                count = 0;
                dfs(grid, visited, i, j, mark); // 将与其链接的陆地都标记上 true
                gridNum[mark] = count; // 记录每一个岛屿的面积
                mark++; // 记录下一个岛屿编号
            }
        }
    }
    if (isAllGrid) {
        cout << n * m << endl; // 如果都是陆地，返回全面积
        return 0; // 结束程序
    }

    // 以下逻辑是根据添加陆地的位置，计算周边岛屿面积之和
    int result = 0; // 记录最后结果
    unordered_set<int> visitedGrid; // 标记访问过的岛屿
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            count = 1; // 记录连接之后的岛屿数量
            visitedGrid.clear(); // 每次使用时，清空
            if (grid[i][j] == 0) {
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    int neari = i + dir[k][1]; // 计算相邻坐标
                    int nearj = j + dir[k][0];
                    if (neari < 0 || neari >= n || nearj < 0 || nearj >= m) continue;
                    if (visitedGrid.count(grid[neari][nearj])) continue; // 添加过的岛屿不要重复添加
                    // 把相邻四面的岛屿数量加起来
                    count += gridNum[grid[neari][nearj]];
                    visitedGrid.insert(grid[neari][nearj]); // 标记该岛屿已经添加过
                }
            }
            result = max(result, count);
        }
    }
    cout << result << endl;

}

其他语言版本

Java

public class Main {
    // 该方法采用 DFS
    // 定义全局变量
    // 记录每次每个岛屿的面积
    static int count;
    // 对每个岛屿进行标记
    static int mark;
    // 定义二维数组表示四个方位
    static int[][] dirs = {{0, 1}, {0, -1}, {1, 0}, {-1, 0}};

    // DFS 进行搜索，将每个岛屿标记为不同的数字
    public static void dfs(int[][] grid, int x, int y, boolean[][] visited) {
        // 当遇到边界，直接return
        if (x < 0 || x >= grid.length || y < 0 || y >= grid[0].length) return;
        // 遇到已经访问过的或者遇到海水，直接返回
        if (visited[x][y] || grid[x][y] == 0) return;

        visited[x][y] = true;
        count++;
        grid[x][y] = mark;

        // 继续向下层搜索
        dfs(grid, x, y + 1, visited);
        dfs(grid, x, y - 1, visited);
        dfs(grid, x + 1, y, visited);
        dfs(grid, x - 1, y, visited);
    }

    public static void main (String[] args) {
        // 接收输入
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m = sc.nextInt();
        int n = sc.nextInt();

        int[][] grid = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                grid[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }

        // 初始化mark变量，从2开始（区别于0水，1岛屿）
        mark = 2;

        // 定义二位boolean数组记录该位置是否被访问
        boolean[][] visited = new boolean[m][n];

        // 定义一个HashMap，记录某片岛屿的标记号和面积
        HashMap<Integer, Integer> getSize = new HashMap<>();

        // 定义一个HashSet，用来判断某一位置水四周是否存在不同标记编号的岛屿
        HashSet<Integer> set = new HashSet<>();

        // 定义一个boolean变量，看看DFS之后，是否全是岛屿
        boolean isAllIsland = true;

        // 遍历二维数组进行DFS搜索，标记每片岛屿的编号，记录对应的面积
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] == 0) isAllIsland = false;
                if (grid[i][j] == 1) {
                    count = 0;
                    dfs(grid, i, j, visited);
                    getSize.put(mark, count);
                    mark++;
                }
            }
        }

        int result = 0;
        if (isAllIsland) result =  m * n;

        // 对标记完的grid继续遍历，判断每个水位置四周是否有岛屿，并记录下四周不同相邻岛屿面积之和
        // 每次计算完一个水位置周围可能存在的岛屿面积之和，更新下result变量
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] == 0) {
                    set.clear();
                    // 当前水位置变更为岛屿，所以初始化为1
                    int curSize = 1;

                    for (int[] dir : dirs) {
                        int curRow = i + dir[0];
                        int curCol = j + dir[1];

                        if (curRow < 0 || curRow >= m || curCol < 0 || curCol >= n) continue;
                        int curMark = grid[curRow][curCol];
                        // 如果当前相邻的岛屿已经遍历过或者HashMap中不存在这个编号，继续搜索
                        if (set.contains(curMark) || !getSize.containsKey(curMark)) continue;
                        set.add(curMark);
                        curSize += getSize.get(curMark);
                    }

                    result = Math.max(result, curSize);
                }
            }
        }

        // 打印结果
        System.out.println(result);
    }
}

Python

BFS

from typing import List
from collections import defaultdict

class Solution:
    def __init__(self):
        self.direction = [(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)]
        self.res = 0
        self.count = 0
        self.idx = 1
        self.count_area = defaultdict(int)

    def max_area_island(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid or len(grid) == 0 or len(grid[0]) == 0:
            return 0

        for i in range(len(grid)):
            for j in range(len(grid[0])):
                if grid[i][j] == 1:
                    self.count = 0
                    self.idx += 1
                    self.dfs(grid,i,j)
        # print(grid)
        self.check_area(grid)
        # print(self.count_area)
        
        if self.check_largest_connect_island(grid=grid):
            return self.res + 1
        return max(self.count_area.values())
    
    def dfs(self,grid,row,col):
        grid[row][col] = self.idx
        self.count += 1
        for dr,dc in self.direction:
            _row = dr + row 
            _col = dc + col 
            if 0<=_row<len(grid) and 0<=_col<len(grid[0]) and grid[_row][_col] == 1:
                self.dfs(grid,_row,_col)
        return

    def check_area(self,grid):
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        for row in range(m):
            for col in range(n):
                  self.count_area[grid[row][col]] = self.count_area.get(grid[row][col],0) + 1
        return

    def check_largest_connect_island(self,grid):
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        has_connect = False
        for row in range(m):
            for col in range(n):
                if grid[row][col] == 0:
                    has_connect = True
                    area = 0
                    visited = set()
                    for dr, dc in self.direction:
                        _row = row + dr 
                        _col = col + dc
                        if 0<=_row<len(grid) and 0<=_col<len(grid[0]) and grid[_row][_col] != 0 and grid[_row][_col] not in visited:
                            visited.add(grid[_row][_col])
                            area += self.count_area[grid[_row][_col]]
                            self.res = max(self.res, area)
                            
        return has_connect




def main():
    m, n = map(int, input().split())
    grid = []

    for i in range(m):
        grid.append(list(map(int,input().split())))

    
    sol = Solution()
    print(sol.max_area_island(grid))

if __name__ == '__main__':
    main()

import collections

directions = [[-1, 0], [0, 1], [0, -1], [1, 0]]
area = 0

def dfs(i, j, grid, visited, num):
    global area
    
    if visited[i][j]:
        return

    visited[i][j] = True
    grid[i][j] = num  # 标记岛屿号码
    area += 1
    
    for x, y in directions:
        new_x = i + x
        new_y = j + y
        if (
            0 <= new_x < len(grid)
            and 0 <= new_y < len(grid[0])
            and grid[new_x][new_y] == "1"
        ):
            dfs(new_x, new_y, grid, visited, num)
    

def main():
    global area
    
    N, M = map(int, input().strip().split())
    grid = []
    for i in range(N):
        grid.append(input().strip().split())
    visited = [[False] * M for _ in range(N)]
    rec = collections.defaultdict(int)
    
    cnt = 2
    for i in range(N):
        for j in range(M):
            if grid[i][j] == "1":
                area = 0
                dfs(i, j, grid, visited, cnt)
                rec[cnt] = area  # 纪录岛屿面积
                cnt += 1
    
    res = 0
    for i in range(N):
        for j in range(M):
            if grid[i][j] == "0":
                max_island = 1  # 将水变为陆地，故从1开始计数
                v = set()
                for x, y in directions:
                    new_x = i + x
                    new_y = j + y
                    if (
                        0 <= new_x < len(grid)
                        and 0 <= new_y < len(grid[0])
                        and grid[new_x][new_y] != "0"
                        and grid[new_x][new_y] not in v  # 岛屿不可重复
                    ):
                        max_island += rec[grid[new_x][new_y]]
                        v.add(grid[new_x][new_y])
                res = max(res, max_island)

    if res == 0:
        return max(rec.values())  # 无水的情况
    return res
    
if __name__ == "__main__":
    print(main())

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const r1 = require('readline').createInterface({ input: process.stdin });
// 创建readline接口
let iter = r1[Symbol.asyncIterator]();
// 创建异步迭代器
const readline = async () => (await iter.next()).value;

let graph // 地图
let N, M // 地图大小
let visited // 访问过的节点, 标记岛屿
const dir = [[0, 1], [1, 0], [0, -1], [-1, 0]] //方向

let count = 0 // 统计岛屿面积
let areaMap = new Map() // 存储岛屿面积


// 读取输入，初始化地图
const initGraph = async () => {
  let line = await readline();
  [N, M] = line.split(' ').map(Number);
  graph = new Array(N).fill(0).map(() => new Array(M).fill(0))
  visited = new Array(N).fill(0).map(() => new Array(M).fill(0))

  for (let i = 0; i < N; i++) {
    line = await readline()
    line = line.split(' ').map(Number)
    for (let j = 0; j < M; j++) {
      graph[i][j] = line[j]
    }
  }
}

/**
 * @description: 从（x，y）开始深度优先遍历地图
 * @param {*} graph 地图
 * @param {*} visited 可访问节点
 * @param {*} x 开始搜索节点的下标
 * @param {*} y 开始搜索节点的下标
 * @param {*} mark 当前岛屿的标记
 * @return {*}
 */
const dfs = (graph, visited, x, y, mark) => {
  if (visited[x][y] != 0) return
  visited[x][y] = mark
  count++

  for (let i = 0; i < 4; i++) {
    let nextx = x + dir[i][0]
    let nexty = y + dir[i][1]
    if (nextx < 0 || nextx >= N || nexty < 0 || nexty >= M) continue //越界, 跳过

    // 已访问过, 或者是海洋, 跳过
    if (visited[nextx][nexty] != 0 || graph[nextx][nexty] == 0) continue

    dfs(graph, visited, nextx, nexty, mark)
  }
}

(async function () {

  // 读取输入，初始化地图
  await initGraph()

  let isAllLand = true //标记整个地图都是陆地

  let mark = 2 // 标记岛屿
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    for (let j = 0; j < M; j++) {
      if (graph[i][j] == 0 && isAllLand) isAllLand = false
      if (graph[i][j] === 1 && visited[i][j] === 0) {
        count = 0
        dfs(graph, visited, i, j, mark)
        areaMap.set(mark, count)
        mark++
      }
    }
  }

  // 如果全是陆地, 直接返回面积
  if (isAllLand) {
    console.log(N * M);
    return
  }

  let result = 0  // 记录最后结果
  let visitedIsland = new Map() //标记访问过的岛屿, 因为海洋四周可能是同一个岛屿, 需要标记避免重复统计面积
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    for (let j = 0; j < M; j++) {
      if (visited[i][j] === 0) {
        count = 1  // 记录连接之后的岛屿数量
        visitedIsland.clear()  // 每次使用时，清空

        // 计算海洋周围岛屿面积
        for (let m = 0; m < 4; m++) {
          const nextx = i + dir[m][0]
          const nexty = j + dir[m][1]
          if (nextx < 0 || nextx >= N || nexty < 0 || nexty >= M) continue //越界, 跳过

          const island = visited[nextx][nexty]
          if (island == 0 || visitedIsland.get(island)) continue// 四周是海洋或者访问过的陆地 跳过

          // 标记为访问, 计算面积
          visitedIsland.set(island, true)
          count += areaMap.get(visited[nextx][nexty])
        }

        result = Math.max(result, count)
      }
    }
  }

  console.log(result);
})()

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