参与本项目，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们受益！

# Floyd 算法精讲

【题目描述】

小明喜欢去公园散步，公园内布置了许多的景点，相互之间通过小路连接，小明希望在观看景点的同时，能够节省体力，走最短的路径。

给定一个公园景点图，图中有 N 个景点（编号为 1 到 N），以及 M 条双向道路连接着这些景点。每条道路上行走的距离都是已知的。

小明有 Q 个观景计划，每个计划都有一个起点 start 和一个终点 end，表示他想从景点 start 前往景点 end。由于小明希望节省体力，他想知道每个观景计划中从起点到终点的最短路径长度。请你帮助小明计算出每个观景计划的最短路径长度。

【输入描述】

第一行包含两个整数 N, M, 分别表示景点的数量和道路的数量。

接下来的 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示景点 u 和景点 v 之间有一条长度为 w 的双向道路。

接下里的一行包含一个整数 Q，表示观景计划的数量。

接下来的 Q 行，每行包含两个整数 start, end，表示一个观景计划的起点和终点。

【输出描述】

对于每个观景计划，输出一行表示从起点到终点的最短路径长度。如果两个景点之间不存在路径，则输出 -1。

【输入示例】

7 3 1 2 4 2 5 6 3 6 8 2 1 2 2 3

【输出示例】

4 -1

【提示信息】

从 1 到 2 的路径长度为 4，2 到 3 之间并没有道路。

1 <= N, M, Q <= 1000.

# 思路

本题是经典的多源最短路问题。

在这之前我们讲解过，dijkstra朴素版、dijkstra堆优化、Bellman算法、Bellman队列优化（SPFA）都是单源最短路，即只能有一个起点。

而本题是多源最短路，即求多个起点到多个终点的多条最短路径。

通过本题，我们来系统讲解一个新的最短路算法-Floyd 算法。

Floyd 算法对边的权值正负没有要求，都可以处理。

Floyd算法核心思想是动态规划。

例如我们再求节点1 到节点9 的最短距离，用二维数组来表示即：grid[1][9]，如果最短距离是10 ，那就是 grid[1][9] = 10。

那节点1 到节点9 的最短距离是不是可以由节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成呢？

即 grid[1][9] = grid[1][5] + grid[5][9]

节点1 到节点5的最短距离是不是可以有节点1 到节点3的最短距离 + 节点3 到节点5 的最短距离组成呢？

即 grid[1][5] = grid[1][3] + grid[3][5]

以此类推，节点1 到节点3的最短距离可以由更小的区间组成。

那么这样我们是不是就找到了，子问题推导求出整体最优方案的递归关系呢。

节点1 到节点9 的最短距离可以由节点1 到节点5的最短距离 + 节点5到节点9的最短距离组成，也可以有节点1 到节点7的最短距离 + 节点7 到节点9的最短距离的距离组成。

那么选哪个呢？

是不是要选一个最小的，毕竟是求最短路。

此时我们已经接近明确递归公式了。

之前在讲解动态规划的时候，给出过动规五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

那么接下来我们还是用这五部来给大家讲解 Floyd。

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

这里我们用 grid数组来存图，那就把dp数组命名为 grid。

grid[i][j][k] = m，表示节点i 到节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。

可能有录友会想，凭什么就这么定义呢？

节点i 到节点j 的最短距离为m，这句话可以理解，但以[1...k]集合为中间节点就理解不辽了。

节点i 到节点j 的最短路径中一定是经过很多节点，那么这个集合用[1...k] 来表示。

你可以反过来想，节点i 到节点j 中间一定经过很多节点，那么你能用什么方式来表述中间这么多节点呢？

所以这里的k不能单独指某个节点，k 一定要表示一个集合，即[1...k] ，表示节点1 到节点k 一共k个节点的集合。

2、确定递推公式

在上面的分析中我们已经初步感受到了递推的关系。

我们分两种情况：

节点i 到节点j 的最短路径经过节点k
节点i 到节点j 的最短路径不经过节点k

对于第一种情况，grid[i][j][k] = grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]

节点i 到节点k 的最短距离是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以表示为grid[i][k][k - 1]

节点k 到节点j 的最短距离也是不经过节点k，中间节点集合为[1...k-1]，所以表示为 grid[k][j][k - 1]

第二种情况，grid[i][j][k] = grid[i][j][k - 1]

如果节点i 到节点j的最短距离不经过节点k，那么中间节点集合[1...k-1]，表示为 grid[i][j][k - 1]

因为我们是求最短路，对于这两种情况自然是取最小值。

即： grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1])

3、dp数组如何初始化

grid[i][j][k] = m，表示节点i 到节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m。

刚开始初始化k 是不确定的。

例如题目中只是输入边（节点2 -> 节点6，权值为3），那么grid[2][6][k] = 3，k需要填什么呢？

把k 填成1，那如何上来就知道节点2 经过节点1 到达节点6的最短距离是多少呢。

所以只能把k 赋值为 0，本题节点0 是无意义的，节点是从1 到 n。

这样我们在下一轮计算的时候，就可以根据 grid[i][j][0] 来计算 grid[i][j][1]，此时的 grid[i][j][1] 就是节点i 经过节点1 到达节点j 的最小距离了。

grid数组是一个三维数组，那么我们初始化的数据在 i 与 j 构成的平层，如图：

红色的底部一层是我们初始化好的数据，注意：从三维角度去看初始化的数据很重要，下面我们在聊遍历顺序的时候还会再讲。

所以初始化代码：

vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));  // C++定义了一个三位数组，10005是因为边的最大距离是10^4

for(int i = 0; i < m; i++){
    cin >> p1 >> p2 >> val;
    grid[p1][p2][0] = val;
    grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图
}

1
2
3
4
5
6
7
8

grid数组中其他元素数值应该初始化多少呢？

本题求的是最小值，所以输入数据没有涉及到的节点的情况都应该初始为一个最大数。

这样才不会影响，每次计算去最小值的时候初始值对计算结果的影响。

所以grid数组的定义可以是：

// C++写法，定义了一个三位数组，10005是因为边的最大距离是10^4
vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));

1
2
3

4、确定遍历顺序

从递推公式：grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1]) 可以看出，我们需要三个for循环，分别遍历i，j 和k

而 k 依赖于 k - 1， i 和j 的到并不依赖与 i - 1 或者 j - 1 等等。

那么这三个for的嵌套顺序应该是什么样的呢？

我们来看初始化，我们是把 k =0 的 i 和j 对应的数值都初始化了，这样才能去计算 k = 1 的时候 i 和 j 对应的数值。

这就好比是一个三维坐标，i 和j 是平层，而k 是垂直向上的。

遍历的顺序是从底向上一层一层去遍历。

所以遍历k 的for循环一定是在最外面，这样才能一层一层去遍历。如图：

至于遍历 i 和 j 的话，for 循环的先后顺序无所谓。

代码如下：

for (int k = 1; k <= n; k++) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
        }
    }
}

1
2
3
4
5
6
7

有录友可能想，难道遍历k 放在最里层就不行吗？

k 放在最里层，代码是这样：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
        }
    }
}

1
2
3
4
5
6
7

此时就遍历了 j 与 k 形成一个平面，i 则是纵面，那遍历就是这样的：

而我们初始化的数据是 k 为0， i 和 j 形成的平面做初始化，如果以 k 和 j 形成的平面去一层一层遍历，就造成了递推公式用不上上一轮计算的结果，从而导致结果不对（初始化的部分是 i 与j 形成的平面，在初始部分有讲过）。

我再给大家举一个测试用例

1
2
3
4
5
6
7

就是图：

求节点1 到节点 2 的最短距离，运行结果是 10 ，但正确的结果很明显是3。

为什么呢？

因为 k 放在最里面，先就把节点1 和节点 2 的最短距离就确定了，后面再也不会计算节点 1 和节点 2的距离，同时也不会基于初始化或者之前计算过的结果来计算，即：不会考虑节点1 到节点3，节点3 到节点 4，节点4到节点2 的距离。

造成这一原因，是在三维立体坐标中，我们初始化的是 i 和 i 在k 为0 所构成的平面，但遍历的时候是以 j 和 k构成的平面以 i 为垂直方向去层次遍历。

而遍历k 的for循环如果放在中间呢，同样是 j 与k 行程一个平面，i 是纵面，遍历的也是这样：

同样不能完全用上初始化和上一层计算的结果。

根据这个情况再举一个例子：

1
2
3
4
5

图：

求节点1 到节点3 的最短距离，如果k循环放中间，程序的运行结果是 -1，也就是不能到达节点3。

在计算 grid[i][j][k] 的时候，需要基于 grid[i][k][k-1] 和 grid[k][j][k-1]的数值。

也就是计算 grid[1][3][2] （表示节点1 到节点3，经过节点2）的时候，需要基于 grid[1][2][1] 和 grid[2][3][1]的数值，而我们初始化，只初始化了 k为0 的那一层。

造成这一原因依然是在三维立体坐标中，我们初始化的是 i 和 j 在k 为0 所构成的平面，但遍历的时候是以 j 和 k构成的平面以 i 为垂直方向去层次遍历。

很多录友对于 floyd算法的遍历顺序搞不懂，其实是没有从三维的角度去思考，同时我把三维立体图给大家画出来，遍历顺序标出来，大家就很容易想明白，为什么 k 放在最外层才能用上初始化和上一轮计算的结果了。

5、举例推导dp数组

这里涉及到三维矩阵，可以一层一层打印出来去分析，例如k=0 的这一层，k = 1的这一层，但一起把三维带数据的图画出来其实不太好画。

# 代码如下

以上分析完毕，最后代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));  // 因为边的最大距离是10^4
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2][0] = val;
        grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图

    }
    // 开始 floyd
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
            }
        }
    }
    // 输出结果
    int z, start, end;
    cin >> z;
    while (z--) {
        cin >> start >> end;
        if (grid[start][end][n] == 10005) cout << -1 << endl;
        else cout << grid[start][end][n] << endl;
    }
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

# 空间优化

这里我们可以做一下空间上的优化，从滚动数组的角度来看，我们定义一个 grid[n + 1][ n + 1][2] 这么大的数组就可以，因为k 只是依赖于 k-1的状态，并不需要记录k-2，k-3，k-4 等等这些状态。

那么我们只需要记录 grid[i][j][1] 和 grid[i][j][0] 就好，之后就是 grid[i][j][1] 和 grid[i][j][0] 交替滚动。

在进一步想，如果本层计算（本层计算即k相同，从三维角度来讲） gird[i][j] 用到了本层中刚计算好的 grid[i][k] 会有什么问题吗？

如果本层刚计算好的 grid[i][k] 比上一层（即k-1层）计算的 grid[i][k] 小，说明确实有 i 到 k 的更短路径，那么基于更小的 grid[i][k] 去计算 gird[i][j] 没有问题。

如果本层刚计算好的 grid[i][k] 比上一层（即k-1层）计算的 grid[i][k] 大，这不可能，因为这样也不会做更新 grid[i][k]的操作。

所以本层计算中，使用了本层计算过的 grid[i][k] 和 grid[k][j] 是没问题的。

那么就没必要区分，grid[i][k] 和 grid[k][j] 是属于 k - 1 层的呢，还是 k 层的。

所以递归公式可以为：

grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j]);

基于二维数组的本题代码为：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005));  // 因为边的最大距离是10^4

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2] = val;
        grid[p2][p1] = val; // 注意这里是双向图

    }
    // 开始 floyd
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j]);
            }
        }
    }
    // 输出结果
    int z, start, end;
    cin >> z;
    while (z--) {
        cin >> start >> end;
        if (grid[start][end] == 10005) cout << -1 << endl;
        else cout << grid[start][end] << endl;
    }
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

时间复杂度： O(n^3)
空间复杂度：O(n^2)

# 总结

本期如果上来只用二维数组来讲的话，其实更容易，但遍历顺序那里用二维数组其实是讲不清楚的，所以我直接用三维数组来讲，目的是将遍历顺序这里讲清楚。

理解了遍历顺序才是floyd算法最精髓的地方。

floyd算法的时间复杂度相对较高，适合稠密图且源点较多的情况。

如果是稀疏图，floyd是从节点的角度去计算了，例如图中节点数量是 1000，就一条边，那 floyd的时间复杂度依然是 O(n^3) 。

如果源点少，其实可以多次dijsktra 求源点到终点。

# 其他语言版本

# Java

# Python

基于三维数组的Floyd

if __name__ == '__main__':
    max_int = 10005  # 设置最大路径，因为边最大距离为10^4

    n, m = map(int, input().split())

    grid = [[[max_int] * (n+1) for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]  # 初始化三维dp数组

    for _ in range(m):
        p1, p2, w = map(int, input().split())
        grid[p1][p2][0] = w
        grid[p2][p1][0] = w

    # 开始floyd
    for k in range(1, n+1):
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, n+1):
                grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1])

    # 输出结果
    z = int(input())
    for _ in range(z):
        start, end = map(int, input().split())
        if grid[start][end][n] == max_int:
            print(-1)
        else:
            print(grid[start][end][n])

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

基于二维数组的Floyd

if __name__ == '__main__':
    max_int = 10005  # 设置最大路径，因为边最大距离为10^4

    n, m = map(int, input().split())

    grid = [[max_int]*(n+1) for _ in range(n+1)]  # 初始化二维dp数组

    for _ in range(m):
        p1, p2, val = map(int, input().split())
        grid[p1][p2] = val
        grid[p2][p1] = val

    # 开始floyd
    for k in range(1, n+1):
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, n+1):
                grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j])

    # 输出结果
    z = int(input())
    for _ in range(z):
        start, end = map(int, input().split())
        if grid[start][end] == max_int:
            print(-1)
        else:
            print(grid[start][end])

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

# Go

# Rust

# Javascript

# TypeScript

# PhP

# Swift

# Scala

# C#

# Dart

# C

← 27. Bellman_ford之单源有限最短路 29. A*算法 →