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kruskal算法精讲

卡码网：53. 寻宝 (opens new window)

题目描述：

在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。

不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将 所有岛屿联通起来。

给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。

输入描述：

第一行包含两个整数V 和 E，V代表顶点数，E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。

接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val代表边的权值。

输出描述：

输出联通所有岛屿的最小路径总距离

输入示例：

7 11
1 2 1
1 3 1
1 5 2
2 6 1
2 4 2
2 3 2
3 4 1
4 5 1
5 6 2
5 7 1
6 7 1

输出示例：

6

解题思路

在上一篇 我们讲解了 prim算法求解 最小生成树，本篇我们来讲解另一个算法：Kruskal，同样可以求最小生成树。

prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。

上来就这么说，大家应该看不太懂，这里是先让大家有这么个印象，带着这个印象在看下文，理解的会更到位一些。

kruscal的思路：

• 边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
• 遍历排序后的边
  • 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
  • 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合

下面我们画图举例说明kruscal的工作过程。

依然以示例中，如下这个图来举例。

将图中的边按照权值有小到大排序，这样从贪心的角度来说，优先选 权值小的边加入到 最小生成树中。

排序后的边顺序为[(1,2) (4,5) (1,3) (2,6) (3,4) (6,7) (5,7) (1,5) (3,2) (2,4) (5,6)]

(1,2) 表示节点1 与 节点2 之间的边。权值相同的边，先后顺序无所谓。

开始从头遍历排序后的边。

---

选边(1,2)，节点1 和 节点2 不在同一个集合，所以生成树可以添加边(1,2)，并将 节点1，节点2 放在同一个集合。

---

选边(4,5)，节点4 和 节点 5 不在同一个集合，生成树可以添加边(4,5) ，并将节点4，节点5 放到同一个集合。

大家判断两个节点是否在同一个集合，就看图中两个节点是否有绿色的粗线连着就行

---

（这里在强调一下，以下选边是按照上面排序好的边的数组来选择的）

选边(1,3)，节点1 和 节点3 不在同一个集合，生成树添加边(1,3)，并将节点1，节点3 放到同一个集合。

---

选边(2,6)，节点2 和 节点6 不在同一个集合，生成树添加边(2,6)，并将节点2，节点6 放到同一个集合。

---

选边(3,4)，节点3 和 节点4 不在同一个集合，生成树添加边(3,4)，并将节点3，节点4 放到同一个集合。

---

选边(6,7)，节点6 和 节点7 不在同一个集合，生成树添加边(6,7)，并将 节点6，节点7 放到同一个集合。

---

选边(5,7)，节点5 和 节点7 在同一个集合，不做计算。

选边(1,5)，两个节点在同一个集合，不做计算。

后面遍历 边(3,2)，(2,4)，(5,6) 同理，都因两个节点已经在同一集合，不做计算。

---

此时 我们就已经生成了一个最小生成树，即：

在上面的讲解中，看图的话 大家知道如何判断 两个节点 是否在同一个集合（是否有绿色的线连在一起），以及如何把两个节点加入集合（就在图中把两个节点连上）

但在代码中，如果将两个节点加入同一个集合，又如何判断两个节点是否在同一个集合呢？

这里就涉及到我们之前讲解的并查集。

我们在并查集开篇的时候就讲了，并查集主要就两个功能：

• 将两个元素添加到一个集合中
• 判断两个元素在不在同一个集合

大家发现这正好符合 Kruskal算法的需求，这也是为什么 我要先讲并查集，再讲 Kruskal。

关于 并查集，我已经在并查集精讲 详细讲解过了，所以这里不再赘述，我们直接用。

本题代码如下，已经详细注释：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// l,r为 边两边的节点，val为边的数值
struct Edge {
    int l, r, val;
};

// 节点数量
int n = 10001;
// 并查集标记节点关系的数组
vector<int> father(n, -1); // 节点编号是从1开始的，n要大一些

// 并查集初始化
void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        father[i] = i;
    }
}

// 并查集的查找操作
int find(int u) {
    return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); // 路径压缩
}

// 并查集的加入集合
void join(int u, int v) {
    u = find(u); // 寻找u的根
    v = find(v); // 寻找v的根
    if (u == v) return ; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[v] = u;
}

int main() {

    int v, e;
    int v1, v2, val;
    vector<Edge> edges;
    int result_val = 0;
    cin >> v >> e;
    while (e--) {
        cin >> v1 >> v2 >> val;
        edges.push_back({v1, v2, val});
    }

    // 执行Kruskal算法
    // 按边的权值对边进行从小到大排序
    sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) {
            return a.val < b.val;
    });

    // 并查集初始化
    init();

    // 从头开始遍历边
    for (Edge edge : edges) {
        // 并查集，搜出两个节点的祖先
        int x = find(edge.l);
        int y = find(edge.r);

        // 如果祖先不同，则不在同一个集合
        if (x != y) {
            result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边
            join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合
        }
    }
    cout << result_val << endl;
    return 0;
}

时间复杂度：nlogn （快排） + logn （并查集） ，所以最后依然是 nlogn 。n为边的数量。

关于并查集时间复杂度，可以看我在 并查集理论基础 (opens new window) 的讲解。

拓展一

如果题目要求将最小生成树的边输出的话，应该怎么办呢？

Kruskal 算法 输出边的话，相对prim 要容易很多，因为 Kruskal 本来就是直接操作边，边的结构自然清晰，不用像 prim一样 需要再将节点连成线输出边 （因为prim是对节点操作，而 Kruskal是对边操作，这是本质区别）

本题中，边的结构为：

struct Edge {
    int l, r, val;
};

那么我们只需要找到 在哪里把生成树的边保存下来就可以了。

当判断两个节点不在同一个集合的时候，这两个节点的边就加入到最小生成树， 所以添加边的操作在这里：

vector<Edge> result; // 存储最小生成树的边
// 如果祖先不同，则不在同一个集合
if (x != y) {
    result.push_back(edge); // 记录最小生成树的边
    result_val += edge.val; // 这条边可以作为生成树的边
    join(x, y); // 两个节点加入到同一个集合
}

整体代码如下，为了突出重点，我仅仅将 打印最小生成树的部分代码注释了，大家更容易看到哪些改动。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Edge {
    int l, r, val;
};


int n = 10001;

vector<int> father(n, -1); 

void init() {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        father[i] = i;
    }
}

int find(int u) {
    return u == father[u] ? u : father[u] = find(father[u]); 
}

void join(int u, int v) {
    u = find(u); 
    v = find(v); 
    if (u == v) return ; 
    father[v] = u;
}

int main() {

    int v, e;
    int v1, v2, val;
    vector<Edge> edges;
    int result_val = 0;
    cin >> v >> e;
    while (e--) {
        cin >> v1 >> v2 >> val;
        edges.push_back({v1, v2, val});
    }

    sort(edges.begin(), edges.end(), [](const Edge& a, const Edge& b) {
            return a.val < b.val;
    });

    vector<Edge> result; // 存储最小生成树的边

    init();

    for (Edge edge : edges) {

        int x = find(edge.l);
        int y = find(edge.r);


        if (x != y) {
            result.push_back(edge); // 保存最小生成树的边
            result_val += edge.val; 
            join(x, y);
        }
    }

    // 打印最小生成树的边
    for (Edge edge : result) {
        cout << edge.l << " - " << edge.r << " : " << edge.val << endl;
    }

    return 0;
}

按照题目中的示例，打印边的输出为：

1 - 2 : 1
1 - 3 : 1
2 - 6 : 1
3 - 4 : 1
4 - 5 : 1
5 - 7 : 1

大家可能发现 怎么和我们 模拟画的图不一样，差别在于 代码生成的最小生成树中 节点5 和 节点7相连的。

其实造成这个差别 是对边排序的时候 权值相同的边先后顺序的问题导致的，无论相同权值边的顺序是什么样的，最后都能得出最小生成树。

拓展二

此时我们已经讲完了 Kruskal 和 prim 两个解法来求最小生成树。

什么情况用哪个算法更合适呢。

Kruskal 与 prim 的关键区别在于，prim维护的是节点的集合，而 Kruskal 维护的是边的集合。 如果 一个图中，节点多，但边相对较少，那么使用Kruskal 更优。

有录友可能疑惑，一个图里怎么可能节点多，边却少呢？

节点未必一定要连着边那， 例如 这个图，大家能明显感受到边没有那么多对吧，但节点数量 和 上述我们讲的例子是一样的。

为什么边少的话，使用 Kruskal 更优呢？

因为 Kruskal 是对边进行排序的后 进行操作是否加入到最小生成树。

边如果少，那么遍历操作的次数就少。

在节点数量固定的情况下，图中的边越少，Kruskal 需要遍历的边也就越少。

而 prim 算法是对节点进行操作的，节点数量越少，prim算法效率就越优。

所以在 稀疏图中，用Kruskal更优。 在稠密图中，用prim算法更优。

边数量较少为稀疏图，接近或等于完全图（所有节点皆相连）为稠密图

Prim 算法 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。

Kruskal算法 时间复杂度 为 nlogn，其中n 为边的数量，适用稀疏图。

总结

如果学过了并查集，其实 kruskal 比 prim更好理解一些。

本篇，我们依然通过模拟 Kruskal 算法的过程，来带大家一步步了解其工作过程。

在 拓展一 中讲解了 如何输出最小生成树的边。

在拓展二 中讲解了 prim 和 Kruskal的区别。

录友们可以细细体会。

其他语言版本

Java

import java.util.*;

class Edge {
    int l, r, val;

    Edge(int l, int r, int val) {
        this.l = l;
        this.r = r;
        this.val = val;
    }
}

public class Main {
    private static int n = 10001;
    private static int[] father = new int[n];

    // 并查集初始化
    public static void init() {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            father[i] = i;
        }
    }

    // 并查集的查找操作
    public static int find(int u) {
        if (u == father[u]) return u;
        return father[u] = find(father[u]);
    }

    // 并查集的加入集合
    public static void join(int u, int v) {
        u = find(u);
        v = find(v);
        if (u == v) return;
        father[v] = u;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int v = scanner.nextInt();
        int e = scanner.nextInt();
        List<Edge> edges = new ArrayList<>();
        int result_val = 0;

        for (int i = 0; i < e; i++) {
            int v1 = scanner.nextInt();
            int v2 = scanner.nextInt();
            int val = scanner.nextInt();
            edges.add(new Edge(v1, v2, val));
        }

        // 执行Kruskal算法
        edges.sort(Comparator.comparingInt(edge -> edge.val));

        // 并查集初始化
        init();

        // 从头开始遍历边
        for (Edge edge : edges) {
            int x = find(edge.l);
            int y = find(edge.r);

            if (x != y) {
                result_val += edge.val;
                join(x, y);
            }
        }
        System.out.println(result_val);
        scanner.close();
    }
}
 

Python

class Edge:
    def __init__(self, l, r, val):
        self.l = l
        self.r = r
        self.val = val

n = 10001
father = list(range(n))

def init():
    global father
    father = list(range(n))

def find(u):
    if u != father[u]:
        father[u] = find(father[u])
    return father[u]

def join(u, v):
    u = find(u)
    v = find(v)
    if u != v:
        father[v] = u

def kruskal(v, edges):
    edges.sort(key=lambda edge: edge.val)
    init()
    result_val = 0

    for edge in edges:
        x = find(edge.l)
        y = find(edge.r)
        if x != y:
            result_val += edge.val
            join(x, y)

    return result_val

if __name__ == "__main__":
    import sys
    input = sys.stdin.read
    data = input().split()

    v = int(data[0])
    e = int(data[1])

    edges = []
    index = 2
    for _ in range(e):
        v1 = int(data[index])
        v2 = int(data[index + 1])
        val = int(data[index + 2])
        edges.append(Edge(v1, v2, val))
        index += 3

    result_val = kruskal(v, edges)
    print(result_val)
 

Go

Rust

Javascript

TypeScript

PhP

Swift

Scala

C#

Dart

C

并查集方法一

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义边结构体，包含两个顶点vex1和vex2以及它们之间的权重val
struct Edge
{
    int vex1, vex2, val;
};

// 冒泡排序函数，用于按边的权重val不减序排序边数组
void bubblesort(struct Edge *a, int numsize)
{
    for (int i = 0; i < numsize - 1; ++i)
    {

        for (int j = 0; j < numsize - i - 1; ++j)
        {
            if (a[j].val > a[j + 1].val)
            {
                struct Edge temp = a[j];
                a[j] = a[j + 1];
                a[j + 1] = temp;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int v, e;
    int v1, v2, val;
    int ret = 0;

    scanf("%d%d", &v, &e);
    struct Edge *edg = (struct Edge *)malloc(sizeof(struct Edge) * e);
    int *conne_gra = (int *)malloc(sizeof(int) * (v + 1));

    // 初始化连通图数组，每个顶点初始时只与自己相连通
    for (int i = 0; i <= v; ++i)
    {
        conne_gra[i] = i;
    }

    // 读取所有边的信息并存储到edg（存储所有边的）数组中
    for (int i = 0; i < e; ++i)
    {
        scanf("%d%d%d", &v1, &v2, &val);
        edg[i].vex1 = v1;
        edg[i].vex2 = v2;
        edg[i].val = val;
    }
    bubblesort(edg, e); // 调用冒泡排序函数对边进行排序

    // 遍历所有边，执行Kruskal算法来找到最小生成树
    for (int i = 0; i < e; ++i)
    {
        if (conne_gra[edg[i].vex1] != conne_gra[edg[i].vex2])
        { // 如果当前边的两个顶点不在同一个连通分量中
            int tmp1 = conne_gra[edg[i].vex1], tmp2 = conne_gra[edg[i].vex2];
            for (int k = 1; k <= v; ++k)
            { // 将所有属于tmp2的顶点合并到tmp1的连通分量中
                if (conne_gra[k] == tmp2)
                    conne_gra[k] = tmp1;
            }
            ret += edg[i].val; // 将当前边的权重加到最小生成树的权重中
        }
    }
    printf("%d", ret);
    return 0;
}

并查集方法二

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义边结构体，包含两个顶点vex1和vex2以及它们之间的权重val （略，同上）
// 冒泡排序函数，用于按边的权重val不减序排序边数组（略，同上）

// 并查集的查找操作
int find(int m, int *father)
{ // 如果当前节点是其自身的父节点，则直接返回该节点
    // 否则递归查找其父节点的根，并将当前节点直接连接到根节点
    return (m == father[m]) ? m : (father[m] = find(father[m], father)); // 路径压缩
}

// 并查集的加入集合
void Union(int m, int n, int *father)
{
    int x = find(m, father);
    int y = find(n, father);
    if (x == y)
        return; // 如果发现根相同，则说明在一个集合，不用两个节点相连直接返回
    father[y] = x;
}

int main()
{
    int v, e;
    int v1, v2, val;
    int ret = 0;

    scanf("%d%d", &v, &e);
    struct Edge *edg = (struct Edge *)malloc(sizeof(struct Edge) * e);
    int *conne_gra = (int *)malloc(sizeof(int) * (v + 1));

    // 初始化连通图数组，每个顶点初始时只与自己相连通
    for (int i = 0; i <= v; ++i)
    {
        conne_gra[i] = i;
    }
    // 读取所有边的信息并存储到edg（存储所有边的）数组中
    for (int i = 0; i < e; ++i)
    {
        scanf("%d%d%d", &v1, &v2, &val);
        edg[i].vex1 = v1;
        edg[i].vex2 = v2;
        edg[i].val = val;
    }

    bubblesort(edg, e); // 调用冒泡排序函数对边进行排序

    // Kruskal算法的实现，通过边数组构建最小生成树
    int j = 0, count = 0;
    while (v > 1)
    {
        if (find(edg[j].vex1, conne_gra) != find(edg[j].vex2, conne_gra))
        {
            ret += edg[j].val; // 将当前边的权重加到最小生成树的权重中
            Union(edg[j].vex1, edg[j].vex2, conne_gra);
            v--;
        }
        j++;
    }
    printf("%d", ret);
    return 0;
}