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构造二叉搜索树,一不小心就平衡了

# 108.将有序数组转换为二叉搜索树

力扣题目链接 (opens new window)

将一个按照升序排列的有序数组,转换为一棵高度平衡二叉搜索树。

本题中,一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

示例:

108.将有序数组转换为二叉搜索树

# 思路

做这道题目之前大家可以了解一下这几道:

进入正题:

题目中说要转换为一棵高度平衡二叉搜索树。这和转换为一棵普通二叉搜索树有什么差别呢?

其实这里不用强调平衡二叉搜索树,数组构造二叉树,构成平衡树是自然而然的事情,因为大家默认都是从数组中间位置取值作为节点元素,一般不会随机取,所以想构成不平衡的二叉树是自找麻烦

二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)二叉树:构造一棵最大的二叉树 (opens new window)中其实已经讲过了,如果根据数组构造一颗二叉树。

本质就是寻找分割点,分割点作为当前节点,然后递归左区间和右区间

本题其实要比二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)二叉树:构造一棵最大的二叉树 (opens new window)简单一些,因为有序数组构造二叉搜索树,寻找分割点就比较容易了。

分割点就是数组中间位置的节点。

那么为问题来了,如果数组长度为偶数,中间节点有两个,取哪一个?

取哪一个都可以,只不过构成了不同的平衡二叉搜索树。

例如:输入:[-10,-3,0,5,9]

如下两棵树,都是这个数组的平衡二叉搜索树:

108.将有序数组转换为二叉搜索树

如果要分割的数组长度为偶数的时候,中间元素为两个,是取左边元素 就是树1,取右边元素就是树2。

这也是题目中强调答案不是唯一的原因。 理解这一点,这道题目算是理解到位了

# 递归

递归三部曲:

  • 确定递归函数返回值及其参数

删除二叉树节点,增加二叉树节点,都是用递归函数的返回值来完成,这样是比较方便的。

相信大家如果仔细看了二叉树:搜索树中的插入操作 (opens new window)二叉树:搜索树中的删除操作 (opens new window),一定会对递归函数返回值的作用深有感触。

那么本题要构造二叉树,依然用递归函数的返回值来构造中节点的左右孩子。

再来看参数,首先是传入数组,然后就是左下表left和右下表right,我们在二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)中提过,在构造二叉树的时候尽量不要重新定义左右区间数组,而是用下表来操作原数组。

所以代码如下:

// 左闭右闭区间[left, right]
TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right)
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这里注意,我这里定义的是左闭右闭区间,在不断分割的过程中,也会坚持左闭右闭的区间,这又涉及到我们讲过的循环不变量

二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)35.搜索插入位置 (opens new window)59.螺旋矩阵II (opens new window)都详细讲过循环不变量。

  • 确定递归终止条件

这里定义的是左闭右闭的区间,所以当区间 left > right的时候,就是空节点了。

代码如下:

if (left > right) return nullptr;
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  • 确定单层递归的逻辑

首先取数组中间元素的位置,不难写出int mid = (left + right) / 2;这么写其实有一个问题,就是数值越界,例如left和right都是最大int,这么操作就越界了,在二分法 (opens new window)中尤其需要注意!

所以可以这么写:int mid = left + ((right - left) / 2);

但本题leetcode的测试数据并不会越界,所以怎么写都可以。但需要有这个意识!

取了中间位置,就开始以中间位置的元素构造节点,代码:TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);

接着划分区间,root的左孩子接住下一层左区间的构造节点,右孩子接住下一层右区间构造的节点。

最后返回root节点,单层递归整体代码如下:

int mid = left + ((right - left) / 2);
TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
return root;
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这里int mid = left + ((right - left) / 2);的写法相当于是如果数组长度为偶数,中间位置有两个元素,取靠左边的。

  • 递归整体代码如下:
class Solution {
private:
    TreeNode* traversal(vector<int>& nums, int left, int right) {
        if (left > right) return nullptr;
        int mid = left + ((right - left) / 2);
        TreeNode* root = new TreeNode(nums[mid]);
        root->left = traversal(nums, left, mid - 1);
        root->right = traversal(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
public:
    TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
        TreeNode* root = traversal(nums, 0, nums.size() - 1);
        return root;
    }
};
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注意:在调用traversal的时候为什么传入的left和right为什么是0和nums.size() - 1,因为定义的区间为左闭右闭

# 迭代法

迭代法可以通过三个队列来模拟,一个队列放遍历的节点,一个队列放左区间下表,一个队列放右区间下表。

模拟的就是不断分割的过程,C++代码如下:(我已经详细注释)

class Solution {
public:
    TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return nullptr;

        TreeNode* root = new TreeNode(0);   // 初始根节点
        queue<TreeNode*> nodeQue;           // 放遍历的节点
        queue<int> leftQue;                 // 保存左区间下表
        queue<int> rightQue;                // 保存右区间下表
        nodeQue.push(root);                 // 根节点入队列
        leftQue.push(0);                    // 0为左区间下表初始位置
        rightQue.push(nums.size() - 1);     // nums.size() - 1为右区间下表初始位置

        while (!nodeQue.empty()) {
            TreeNode* curNode = nodeQue.front();
            nodeQue.pop();
            int left = leftQue.front(); leftQue.pop();
            int right = rightQue.front(); rightQue.pop();
            int mid = left + ((right - left) / 2);

            curNode->val = nums[mid];       // 将mid对应的元素给中间节点

            if (left <= mid - 1) {          // 处理左区间
                curNode->left = new TreeNode(0);
                nodeQue.push(curNode->left);
                leftQue.push(left);
                rightQue.push(mid - 1);
            }

            if (right >= mid + 1) {         // 处理右区间
                curNode->right = new TreeNode(0);
                nodeQue.push(curNode->right);
                leftQue.push(mid + 1);
                rightQue.push(right);
            }
        }
        return root;
    }
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# 总结

二叉树:构造二叉树登场! (opens new window)二叉树:构造一棵最大的二叉树 (opens new window)之后,我们顺理成章的应该构造一下二叉搜索树了,一不小心还是一棵平衡二叉搜索树

其实思路也是一样的,不断中间分割,然后递归处理左区间,右区间,也可以说是分治。

此时相信大家应该对通过递归函数的返回值来增删二叉树很熟悉了,这也是常规操作。

在定义区间的过程中我们又一次强调了循环不变量的重要性。

最后依然给出迭代的方法,其实就是模拟取中间元素,然后不断分割去构造二叉树的过程。

# 其他语言版本

Java:

递归: 左闭右开 [left,right)

class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        return sortedArrayToBST(nums, 0, nums.length);
    }
    
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums, int left, int right) {
        if (left >= right) {
            return null;
        }
        if (right - left == 1) {
            return new TreeNode(nums[left]);
        }
        int mid = left + (right - left) / 2;
        TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
        root.left = sortedArrayToBST(nums, left, mid);
        root.right = sortedArrayToBST(nums, mid + 1, right);
        return root;
    }
}

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递归: 左闭右闭 [left,right]

class Solution {
	public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
		TreeNode root = traversal(nums, 0, nums.length - 1);
		return root;
	}

	// 左闭右闭区间[left, right)
	private TreeNode traversal(int[] nums, int left, int right) {
		if (left > right) return null;

		int mid = left + ((right - left) >> 1);
		TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
		root.left = traversal(nums, left, mid - 1);
		root.right = traversal(nums, mid + 1, right);
		return root;
	}
}
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迭代: 左闭右闭 [left,right]

class Solution {
	public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
		if (nums.length == 0) return null;

		//根节点初始化
		TreeNode root = new TreeNode(-1);
		Queue<TreeNode> nodeQueue = new LinkedList<>();
		Queue<Integer> leftQueue = new LinkedList<>();
		Queue<Integer> rightQueue = new LinkedList<>();

		// 根节点入队列
		nodeQueue.offer(root);
		// 0为左区间下表初始位置
		leftQueue.offer(0);
		// nums.size() - 1为右区间下表初始位置
		rightQueue.offer(nums.length - 1);

		while (!nodeQueue.isEmpty()) {
			TreeNode currNode = nodeQueue.poll();
			int left = leftQueue.poll();
			int right = rightQueue.poll();
			int mid = left + ((right - left) >> 1);

			// 将mid对应的元素给中间节点
			currNode.val = nums[mid];

			// 处理左区间
			if (left <= mid - 1) {
				currNode.left = new TreeNode(-1);
				nodeQueue.offer(currNode.left);
				leftQueue.offer(left);
				rightQueue.offer(mid - 1);
			}

			// 处理右区间
			if (right >= mid + 1) {
				currNode.right = new TreeNode(-1);
				nodeQueue.offer(currNode.right);
				leftQueue.offer(mid + 1);
				rightQueue.offer(right);
			}
		}
		return root;
	}
}
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Python:

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
#递归法
class Solution:
    def sortedArrayToBST(self, nums: List[int]) -> TreeNode:
        def buildaTree(left,right):
            if left > right: return None  #左闭右闭的区间,当区间 left > right的时候,就是空节点,当left = right的时候,不为空
            mid = left + (right - left) // 2 #保证数据不会越界
            val = nums[mid]
            root = TreeNode(val)
            root.left = buildaTree(left,mid - 1)
            root.right = buildaTree(mid + 1,right)
            return root
        root = buildaTree(0,len(nums) - 1)  #左闭右闭区间
        return root
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Go:

递归(隐含回溯)

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
 //递归(隐含回溯)
func sortedArrayToBST(nums []int) *TreeNode {
    if len(nums)==0{return nil}//终止条件,最后数组为空则可以返回
    root:=&TreeNode{nums[len(nums)/2],nil,nil}//按照BSL的特点,从中间构造节点
    root.Left=sortedArrayToBST(nums[:len(nums)/2])//数组的左边为左子树
    root.Right=sortedArrayToBST(nums[len(nums)/2+1:])//数字的右边为右子树
    return root
}
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JavaScript版本

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * function TreeNode(val, left, right) {
 *     this.val = (val===undefined ? 0 : val)
 *     this.left = (left===undefined ? null : left)
 *     this.right = (right===undefined ? null : right)
 * }
 */
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {TreeNode}
 */
var sortedArrayToBST = function (nums) {
    const buildTree = (Arr, left, right) => {
        if (left > right)
            return null;

        let mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);

        let root = new TreeNode(Arr[mid]);
        root.left = buildTree(Arr, left, mid - 1);
        root.right = buildTree(Arr, mid + 1, right);
        return root;
    }
    return buildTree(nums, 0, nums.length - 1);
};
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