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本来是打算将二叉树和二叉搜索树的公共祖先问题一起讲,后来发现篇幅过长了,只能先说一说二叉树的公共祖先问题。

# 236. 二叉树的最近公共祖先

力扣题目链接 (opens new window)

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为:“对于有根树 T 的两个结点 p、q,最近公共祖先表示为一个结点 x,满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。”

例如,给定如下二叉树:  root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

236. 二叉树的最近公共祖先

示例 1: 输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1 输出: 3 解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2: 输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4 输出: 5 解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

  • 所有节点的值都是唯一的。
  • p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。

# 思路

遇到这个题目首先想的是要是能自底向上查找就好了,这样就可以找到公共祖先了。

那么二叉树如何可以自底向上查找呢?

回溯啊,二叉树回溯的过程就是从低到上。

后序遍历就是天然的回溯过程,最先处理的一定是叶子节点。

接下来就看如何判断一个节点是节点q和节点p的公共公共祖先呢。

如果找到一个节点,发现左子树出现结点p,右子树出现节点q,或者 左子树出现结点q,右子树出现节点p,那么该节点就是节点p和q的最近公共祖先。

使用后序遍历,回溯的过程,就是从低向上遍历节点,一旦发现如何这个条件的节点,就是最近公共节点了。

递归三部曲:

  • 确定递归函数返回值以及参数

需要递归函数返回值,来告诉我们是否找到节点q或者p,那么返回值为bool类型就可以了。

但我们还要返回最近公共节点,可以利用上题目中返回值是TreeNode * ,那么如果遇到p或者q,就把q或者p返回,返回值不为空,就说明找到了q或者p。

代码如下:

TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)
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  • 确定终止条件

如果找到了 节点p或者q,或者遇到空节点,就返回。

代码如下:

if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
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  • 确定单层递归逻辑

值得注意的是 本题函数有返回值,是因为回溯的过程需要递归函数的返回值做判断,但本题我们依然要遍历树的所有节点。

我们在二叉树:递归函数究竟什么时候需要返回值,什么时候不要返回值? (opens new window)中说了 递归函数有返回值就是要遍历某一条边,但有返回值也要看如何处理返回值!

如果递归函数有返回值,如何区分要搜索一条边,还是搜索整个树呢?

搜索一条边的写法:

if (递归函数(root->left)) return ;

if (递归函数(root->right)) return ;
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搜索整个树写法:

left = 递归函数(root->left);
right = 递归函数(root->right);
left与right的逻辑处理;
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看出区别了没?

在递归函数有返回值的情况下:如果要搜索一条边,递归函数返回值不为空的时候,立刻返回,如果搜索整个树,直接用一个变量left、right接住返回值,这个left、right后序还有逻辑处理的需要,也就是后序遍历中处理中间节点的逻辑(也是回溯)

那么为什么要遍历整颗树呢?直观上来看,找到最近公共祖先,直接一路返回就可以了。

如图:

236.二叉树的最近公共祖先

就像图中一样直接返回7,多美滋滋。

但事实上还要遍历根节点右子树(即使此时已经找到了目标节点了),也就是图中的节点4、15、20。

因为在如下代码的后序遍历中,如果想利用left和right做逻辑处理, 不能立刻返回,而是要等left与right逻辑处理完之后才能返回。

left = 递归函数(root->left);
right = 递归函数(root->right);
left与right的逻辑处理;
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所以此时大家要知道我们要遍历整棵树。知道这一点,对本题就有一定深度的理解了。

那么先用left和right接住左子树和右子树的返回值,代码如下:

TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);

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如果left 和 right都不为空,说明此时root就是最近公共节点。这个比较好理解

如果left为空,right不为空,就返回right,说明目标节点是通过right返回的,反之依然

这里有的同学就理解不了了,为什么left为空,right不为空,目标节点通过right返回呢?

如图:

236.二叉树的最近公共祖先1

图中节点10的左子树返回null,右子树返回目标值7,那么此时节点10的处理逻辑就是把右子树的返回值(最近公共祖先7)返回上去!

这里点也很重要,可能刷过这道题目的同学,都不清楚结果究竟是如何从底层一层一层传到头结点的。

那么如果left和right都为空,则返回left或者right都是可以的,也就是返回空。

代码如下:

if (left == NULL && right != NULL) return right;
else if (left != NULL && right == NULL) return left;
else  { //  (left == NULL && right == NULL)
    return NULL;
}

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那么寻找最小公共祖先,完整流程图如下:

236.二叉树的最近公共祖先2

从图中,大家可以看到,我们是如何回溯遍历整颗二叉树,将结果返回给头结点的!

整体代码如下:

class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
        TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if (left != NULL && right != NULL) return root;

        if (left == NULL && right != NULL) return right;
        else if (left != NULL && right == NULL) return left;
        else  { //  (left == NULL && right == NULL)
            return NULL;
        }

    }
};
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稍加精简,代码如下:

class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
        TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if (left != NULL && right != NULL) return root;
        if (left == NULL) return right;
        return left;
    }
};
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# 总结

这道题目刷过的同学未必真正了解这里面回溯的过程,以及结果是如何一层一层传上去的。

那么我给大家归纳如下三点

  1. 求最小公共祖先,需要从底向上遍历,那么二叉树,只能通过后序遍历(即:回溯)实现从低向上的遍历方式。

  2. 在回溯的过程中,必然要遍历整颗二叉树,即使已经找到结果了,依然要把其他节点遍历完,因为要使用递归函数的返回值(也就是代码中的left和right)做逻辑判断。

  3. 要理解如果返回值left为空,right不为空为什么要返回right,为什么可以用返回right传给上一层结果。

可以说这里每一步,都是有难度的,都需要对二叉树,递归和回溯有一定的理解。

本题没有给出迭代法,因为迭代法不适合模拟回溯的过程。理解递归的解法就够了。

# 其他语言版本

# Java

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        return lowestCommonAncestor1(root, p, q);
    }
    public TreeNode lowestCommonAncestor1(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if (root == null || root == p || root == q) {
            return root;
        }
        TreeNode left = lowestCommonAncestor1(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor1(root.right, p, q);
        if (left != null && right != null) {// 左右子树分别找到了,说明此时的root就是要求的结果
            return root;
        }
        if (left == null) {
            return right;
        }
        return left;
    }
}
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// 代码精简版
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if (root == null || root.val == p.val ||root.val == q.val) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);
        if (left != null && right != null) return root;
        else if (left == null && right != null) return right;
        else if (left != null && right == null) return left;
        else return null;
    }
}
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# Python

//递归
class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        if not root or root == p or root == q: return root  //找到了节点p或者q,或者遇到空节点
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left,p,q)  //左
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right,p,q)  //if left and right: return root  //: left和right不为空,root就是最近公共节点
        elif left and not right: return left  //目标节点是通过left返回的
        elif not left and right: return right  //目标节点是通过right返回的
        else: return None  //没找到
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# Go

func lowestCommonAncestor(root, p, q *TreeNode) *TreeNode {
    // check
    if root == nil {
        return root
    }
    // 相等 直接返回root节点即可
    if root == p || root == q {
        return root
    }
    // Divide
    left := lowestCommonAncestor(root.Left, p, q)
    right := lowestCommonAncestor(root.Right, p, q)

    // Conquer
    // 左右两边都不为空,则根节点为祖先
    if left != nil && right != nil {
        return root
    }
    if left != nil {
        return left
    }
    if right != nil {
        return right
    }
    return nil
}
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# JavaScript

var lowestCommonAncestor = function(root, p, q) {
    // 使用递归的方法
    // 需要从下到上,所以使用后序遍历
    // 1. 确定递归的函数
    const travelTree = function(root,p,q) {
        // 2. 确定递归终止条件
        if(root === null || root === p||root === q) {
            return root;
        }
        // 3. 确定递归单层逻辑
        let left = travelTree(root.left,p,q);
        let right = travelTree(root.right,p,q);
        if(left !== null&&right !== null) {
            return root;
        }
        if(left ===null) {
            return right;
        }
        return left;
    }
   return  travelTree(root,p,q);
};
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