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找到有没有环已经很不容易了,还要让我找到环的入口?

# 142.环形链表II

力扣题目链接 (opens new window)

题意: 给定一个链表,返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环,则返回 null。

为了表示给定链表中的环,使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置(索引从 0 开始)。 如果 pos 是 -1,则在该链表中没有环。

说明:不允许修改给定的链表。

循环链表

# 思路

这道题目,不仅考察对链表的操作,而且还需要一些数学运算。

主要考察两知识点:

  • 判断链表是否环
  • 如果有环,如何找到这个环的入口

# 判断链表是否有环

可以使用快慢指针法, 分别定义 fast 和 slow指针,从头结点出发,fast指针每次移动两个节点,slow指针每次移动一个节点,如果 fast 和 slow指针在途中相遇 ,说明这个链表有环。

为什么fast 走两个节点,slow走一个节点,有环的话,一定会在环内相遇呢,而不是永远的错开呢

首先第一点: fast指针一定先进入环中,如果fast 指针和slow指针相遇的话,一定是在环中相遇,这是毋庸置疑的。

那么来看一下,为什么fast指针和slow指针一定会相遇呢?

可以画一个环,然后让 fast指针在任意一个节点开始追赶slow指针。

会发现最终都是这种情况, 如下图:

142环形链表1

fast和slow各自再走一步, fast和slow就相遇了

这是因为fast是走两步,slow是走一步,其实相对于slow来说,fast是一个节点一个节点的靠近slow的,所以fast一定可以和slow重合。

动画如下:

141.环形链表

# 如果有环,如何找到这个环的入口

此时已经可以判断链表是否有环了,那么接下来要找这个环的入口了。

假设从头结点到环形入口节点 的节点数为x。 环形入口节点到 fast指针与slow指针相遇节点 节点数为y。 从相遇节点 再到环形入口节点节点数为 z。 如图所示:

142环形链表2

那么相遇时: slow指针走过的节点数为: x + y, fast指针走过的节点数:x + y + n (y + z),n为fast指针在环内走了n圈才遇到slow指针, (y+z)为 一圈内节点的个数A。

因为fast指针是一步走两个节点,slow指针一步走一个节点, 所以 fast指针走过的节点数 = slow指针走过的节点数 * 2:

(x + y) * 2 = x + y + n (y + z)

两边消掉一个(x+y): x + y = n (y + z)

因为要找环形的入口,那么要求的是x,因为x表示 头结点到 环形入口节点的的距离。

所以要求x ,将x单独放在左面:x = n (y + z) - y ,

再从n(y+z)中提出一个 (y+z)来,整理公式之后为如下公式:x = (n - 1) (y + z) + z 注意这里n一定是大于等于1的,因为 fast指针至少要多走一圈才能相遇slow指针。

这个公式说明什么呢?

先拿n为1的情况来举例,意味着fast指针在环形里转了一圈之后,就遇到了 slow指针了。

当 n为1的时候,公式就化解为 x = z

这就意味着,从头结点出发一个指针,从相遇节点 也出发一个指针,这两个指针每次只走一个节点, 那么当这两个指针相遇的时候就是 环形入口的节点

也就是在相遇节点处,定义一个指针index1,在头结点处定一个指针index2。

让index1和index2同时移动,每次移动一个节点, 那么他们相遇的地方就是 环形入口的节点。

动画如下:

142.环形链表II(求入口)

那么 n如果大于1是什么情况呢,就是fast指针在环形转n圈之后才遇到 slow指针。

其实这种情况和n为1的时候 效果是一样的,一样可以通过这个方法找到 环形的入口节点,只不过,index1 指针在环里 多转了(n-1)圈,然后再遇到index2,相遇点依然是环形的入口节点。

代码如下:

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        ListNode* fast = head;
        ListNode* slow = head;
        while(fast != NULL && fast->next != NULL) {
            slow = slow->next;
            fast = fast->next->next;
            // 快慢指针相遇,此时从head 和 相遇点,同时查找直至相遇
            if (slow == fast) {
                ListNode* index1 = fast;
                ListNode* index2 = head;
                while (index1 != index2) {
                    index1 = index1->next;
                    index2 = index2->next;
                }
                return index2; // 返回环的入口
            }
        }
        return NULL;
    }
};
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# 补充

在推理过程中,大家可能有一个疑问就是:为什么第一次在环中相遇,slow的 步数 是 x+y 而不是 x + 若干环的长度 + y 呢?

即文章链表:环找到了,那入口呢? (opens new window)中如下的地方:

142环形链表5

首先slow进环的时候,fast一定是先进环来了。

如果slow进环入口,fast也在环入口,那么把这个环展开成直线,就是如下图的样子:

142环形链表3

可以看出如果slow 和 fast同时在环入口开始走,一定会在环入口3相遇,slow走了一圈,fast走了两圈。

重点来了,slow进环的时候,fast一定是在环的任意一个位置,如图:

142环形链表4

那么fast指针走到环入口3的时候,已经走了k + n 个节点,slow相应的应该走了(k + n) / 2 个节点。

因为k是小于n的(图中可以看出),所以(k + n) / 2 一定小于n。

也就是说slow一定没有走到环入口3,而fast已经到环入口3了

这说明什么呢?

在slow开始走的那一环已经和fast相遇了

那有同学又说了,为什么fast不能跳过去呢? 在刚刚已经说过一次了,fast相对于slow是一次移动一个节点,所以不可能跳过去

好了,这次把为什么第一次在环中相遇,slow的 步数 是 x+y 而不是 x + 若干环的长度 + y ,用数学推理了一下,算是对链表:环找到了,那入口呢? (opens new window)的补充。

# 总结

这次可以说把环形链表这道题目的各个细节,完完整整的证明了一遍,说这是全网最详细讲解不为过吧,哈哈。

# 其他语言版本

Java:

public class Solution {
    public ListNode detectCycle(ListNode head) {
        ListNode slow = head;
        ListNode fast = head;
        while (fast != null && fast.next != null) {
            slow = slow.next;
            fast = fast.next.next;
            if (slow == fast) {// 有环
                ListNode index1 = fast;
                ListNode index2 = head;
                // 两个指针,从头结点和相遇结点,各走一步,直到相遇,相遇点即为环入口
                while (index1 != index2) {
                    index1 = index1.next;
                    index2 = index2.next;
                }
                return index1;
            }
        }
        return null;
    }
}
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Python:

class Solution:
    def detectCycle(self, head: ListNode) -> ListNode:
        slow, fast = head, head
        while fast and fast.next:
            slow = slow.next
            fast = fast.next.next
            # 如果相遇
            if slow == fast:
                p = head
                q = slow
                while p!=q:
                    p = p.next
                    q = q.next
                #你也可以return q
                return p

        return None
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Go:

func detectCycle(head *ListNode) *ListNode {
    slow, fast := head, head
    for fast != nil && fast.Next != nil {
        slow = slow.Next
        fast = fast.Next.Next
        if slow == fast {
            for slow != head {
                slow = slow.Next
                head = head.Next
            }
            return head
        }
    }
    return nil
}
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javaScript

// 两种循环实现方式
/**
 * @param {ListNode} head
 * @return {ListNode}
 */
// 先判断是否是环形链表
var detectCycle = function(head) {
    if(!head || !head.next) return null;
    let slow =head.next, fast = head.next.next;
    while(fast && fast.next && fast!== slow) {
        slow = slow.next;
        fast = fast.next.next; 
    }
    if(!fast || !fast.next ) return null;
    slow = head;
    while (fast !== slow) {
        slow = slow.next;
        fast = fast.next;
    }
    return slow;
};

var detectCycle = function(head) {
    if(!head || !head.next) return null;
    let slow =head.next, fast = head.next.next;
    while(fast && fast.next) {
        slow = slow.next;
        fast = fast.next.next;
        if(fast == slow) {
            slow = head;
            while (fast !== slow) {
                slow = slow.next;
                fast = fast.next;
            }
            return slow;
        }
    }
    return null;
};
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Swift:

class Solution {
    func detectCycle(_ head: ListNode?) -> ListNode? {
        var slow: ListNode? = head
        var fast: ListNode? = head
        while fast != nil && fast?.next != nil {
            slow = slow?.next
            fast = fast?.next?.next
            if slow == fast {
                // 环内相遇
                var list1: ListNode? = slow
                var list2: ListNode? = head
                while list1 != list2 {
                    list1 = list1?.next
                    list2 = list2?.next
                }
                return list2
            }
        }
        return nil
    }
}
extension ListNode: Equatable {
    public func hash(into hasher: inout Hasher) {
        hasher.combine(val)
        hasher.combine(ObjectIdentifier(self))
    }
    public static func == (lhs: ListNode, rhs: ListNode) -> Bool {
        return lhs === rhs
    }
}
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