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这个图就是大厂面试经典题目,接雨水! 最常青藤的一道题,面试官百出不厌!

# 42. 接雨水

力扣题目链接 (opens new window)

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图,计算按此排列的柱子,下雨之后能接多少雨水。

示例 1:

  • 输入:height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
  • 输出:6
  • 解释:上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图,在这种情况下,可以接 6 个单位的雨水(蓝色部分表示雨水)。

示例 2:

  • 输入:height = [4,2,0,3,2,5]
  • 输出:9

# 思路

接雨水问题在面试中还是常见题目的,有必要好好讲一讲。

本文深度讲解如下三种方法:

  • 双指针法
  • 动态规划
  • 单调栈

# 双指针解法

这道题目使用双指针法并不简单,我们来看一下思路。

首先要明确,要按照行来计算,还是按照列来计算。

按照行来计算如图: 42.接雨水2

按照列来计算如图: 42.接雨水1

一些同学在实现的时候,很容易一会按照行来计算一会按照列来计算,这样就会越写越乱。

我个人倾向于按照列来计算,比较容易理解,接下来看一下按照列如何计算。

首先,如果按照列来计算的话,宽度一定是1了,我们再把每一列的雨水的高度求出来就可以了。

可以看出每一列雨水的高度,取决于,该列 左侧最高的柱子和右侧最高的柱子中最矮的那个柱子的高度。

这句话可以有点绕,来举一个理解,例如求列4的雨水高度,如图:

42.接雨水3

列4 左侧最高的柱子是列3,高度为2(以下用lHeight表示)。

列4 右侧最高的柱子是列7,高度为3(以下用rHeight表示)。

列4 柱子的高度为1(以下用height表示)

那么列4的雨水高度为 列3和列7的高度最小值减列4高度,即: min(lHeight, rHeight) - height。

列4的雨水高度求出来了,宽度为1,相乘就是列4的雨水体积了。

此时求出了列4的雨水体积。

一样的方法,只要从头遍历一遍所有的列,然后求出每一列雨水的体积,相加之后就是总雨水的体积了。

首先从头遍历所有的列,并且要注意第一个柱子和最后一个柱子不接雨水,代码如下:

for (int i = 0; i < height.size(); i++) {
    // 第一个柱子和最后一个柱子不接雨水
    if (i == 0 || i == height.size() - 1) continue;
}
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在for循环中求左右两边最高柱子,代码如下:

int rHeight = height[i]; // 记录右边柱子的最高高度
int lHeight = height[i]; // 记录左边柱子的最高高度
for (int r = i + 1; r < height.size(); r++) {
    if (height[r] > rHeight) rHeight = height[r];
}
for (int l = i - 1; l >= 0; l--) {
    if (height[l] > lHeight) lHeight = height[l];
}
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最后,计算该列的雨水高度,代码如下:

int h = min(lHeight, rHeight) - height[i];
if (h > 0) sum += h; // 注意只有h大于零的时候,在统计到总和中
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整体代码如下:

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < height.size(); i++) {
            // 第一个柱子和最后一个柱子不接雨水
            if (i == 0 || i == height.size() - 1) continue;

            int rHeight = height[i]; // 记录右边柱子的最高高度
            int lHeight = height[i]; // 记录左边柱子的最高高度
            for (int r = i + 1; r < height.size(); r++) {
                if (height[r] > rHeight) rHeight = height[r];
            }
            for (int l = i - 1; l >= 0; l--) {
                if (height[l] > lHeight) lHeight = height[l];
            }
            int h = min(lHeight, rHeight) - height[i];
            if (h > 0) sum += h;
        }
        return sum;
    }
};
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因为每次遍历列的时候,还要向两边寻找最高的列,所以时间复杂度为$O(n^2)$。 空间复杂度为$O(1)$。

# 动态规划解法

在上一节的双指针解法中,我们可以看到只要记录左边柱子的最高高度 和 右边柱子的最高高度,就可以计算当前位置的雨水面积,这就是通过列来计算。

当前列雨水面积:min(左边柱子的最高高度,记录右边柱子的最高高度) - 当前柱子高度。

为了得到两边的最高高度,使用了双指针来遍历,每到一个柱子都向两边遍历一遍,这其实是有重复计算的。我们把每一个位置的左边最高高度记录在一个数组上(maxLeft),右边最高高度记录在一个数组上(maxRight)。这样就避免了重复计算,这就用到了动态规划。

当前位置,左边的最高高度是前一个位置的左边最高高度和本高度的最大值。

即从左向右遍历:maxLeft[i] = max(height[i], maxLeft[i - 1]);

从右向左遍历:maxRight[i] = max(height[i], maxRight[i + 1]);

这样就找到递推公式。

代码如下:

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        if (height.size() <= 2) return 0;
        vector<int> maxLeft(height.size(), 0);
        vector<int> maxRight(height.size(), 0);
        int size = maxRight.size();

        // 记录每个柱子左边柱子最大高度
        maxLeft[0] = height[0];
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            maxLeft[i] = max(height[i], maxLeft[i - 1]);
        }
        // 记录每个柱子右边柱子最大高度
        maxRight[size - 1] = height[size - 1];
        for (int i = size - 2; i >= 0; i--) {
            maxRight[i] = max(height[i], maxRight[i + 1]);
        }
        // 求和
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            int count = min(maxLeft[i], maxRight[i]) - height[i];
            if (count > 0) sum += count;
        }
        return sum;
    }
};
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# 单调栈解法

这个解法可以说是最不好理解的了,所以下面我花了大量的篇幅来介绍这种方法。

单调栈就是保持栈内元素有序。和栈与队列:单调队列 (opens new window)一样,需要我们自己维持顺序,没有现成的容器可以用。

# 准备工作

那么本题使用单调栈有如下几个问题:

  1. 首先单调栈是按照行方向来计算雨水,如图:

42.接雨水2

知道这一点,后面的就可以理解了。

  1. 使用单调栈内元素的顺序

从大到小还是从小到大呢?

从栈头(元素从栈头弹出)到栈底的顺序应该是从小到大的顺序。

因为一旦发现添加的柱子高度大于栈头元素了,此时就出现凹槽了,栈头元素就是凹槽底部的柱子,栈头第二个元素就是凹槽左边的柱子,而添加的元素就是凹槽右边的柱子。

如图:

42.接雨水4

  1. 遇到相同高度的柱子怎么办。

遇到相同的元素,更新栈内下标,就是将栈里元素(旧下标)弹出,将新元素(新下标)加入栈中。

例如 5 5 1 3 这种情况。如果添加第二个5的时候就应该将第一个5的下标弹出,把第二个5添加到栈中。

因为我们要求宽度的时候 如果遇到相同高度的柱子,需要使用最右边的柱子来计算宽度

如图所示:

42.接雨水5

  1. 栈里要保存什么数值

是用单调栈,其实是通过 长 * 宽 来计算雨水面积的。

长就是通过柱子的高度来计算,宽是通过柱子之间的下标来计算,

那么栈里有没有必要存一个pair<int, int>类型的元素,保存柱子的高度和下标呢。

其实不用,栈里就存放int类型的元素就行了,表示下标,想要知道对应的高度,通过height[stack.top()] 就知道弹出的下标对应的高度了。

所以栈的定义如下:

stack<int> st; // 存着下标,计算的时候用下标对应的柱子高度
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明确了如上几点,我们再来看处理逻辑。

# 单调栈处理逻辑

先将下标0的柱子加入到栈中,st.push(0);

然后开始从下标1开始遍历所有的柱子,for (int i = 1; i < height.size(); i++)

如果当前遍历的元素(柱子)高度小于栈顶元素的高度,就把这个元素加入栈中,因为栈里本来就要保持从小到大的顺序(从栈头到栈底)。

代码如下:

if (height[i] < height[st.top()])  st.push(i);
1

如果当前遍历的元素(柱子)高度等于栈顶元素的高度,要跟更新栈顶元素,因为遇到相相同高度的柱子,需要使用最右边的柱子来计算宽度。

代码如下:

if (height[i] == height[st.top()]) { // 例如 5 5 1 7 这种情况
  st.pop();
  st.push(i);
}
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如果当前遍历的元素(柱子)高度大于栈顶元素的高度,此时就出现凹槽了,如图所示:

42.接雨水4

取栈顶元素,将栈顶元素弹出,这个就是凹槽的底部,也就是中间位置,下标记为mid,对应的高度为height[mid](就是图中的高度1)。

此时的栈顶元素st.top(),就是凹槽的左边位置,下标为st.top(),对应的高度为height[st.top()](就是图中的高度2)。

当前遍历的元素i,就是凹槽右边的位置,下标为i,对应的高度为height[i](就是图中的高度3)。

此时大家应该可以发现其实就是栈顶和栈顶的下一个元素以及要入栈的三个元素来接水!

那么雨水高度是 min(凹槽左边高度, 凹槽右边高度) - 凹槽底部高度,代码为:int h = min(height[st.top()], height[i]) - height[mid];

雨水的宽度是 凹槽右边的下标 - 凹槽左边的下标 - 1(因为只求中间宽度),代码为:int w = i - st.top() - 1 ;

当前凹槽雨水的体积就是:h * w

求当前凹槽雨水的体积代码如下:

while (!st.empty() && height[i] > height[st.top()]) { // 注意这里是while,持续跟新栈顶元素
    int mid = st.top();
    st.pop();
    if (!st.empty()) {
        int h = min(height[st.top()], height[i]) - height[mid];
        int w = i - st.top() - 1; // 注意减一,只求中间宽度
        sum += h * w;
    }
}
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关键部分讲完了,整体代码如下:

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        if (height.size() <= 2) return 0; // 可以不加
        stack<int> st; // 存着下标,计算的时候用下标对应的柱子高度
        st.push(0);
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i < height.size(); i++) {
            if (height[i] < height[st.top()]) {     // 情况一
                st.push(i);
            } if (height[i] == height[st.top()]) {  // 情况二
                st.pop(); // 其实这一句可以不加,效果是一样的,但处理相同的情况的思路却变了。
                st.push(i);
            } else {                                // 情况三
                while (!st.empty() && height[i] > height[st.top()]) { // 注意这里是while
                    int mid = st.top();
                    st.pop();
                    if (!st.empty()) {
                        int h = min(height[st.top()], height[i]) - height[mid];
                        int w = i - st.top() - 1; // 注意减一,只求中间宽度
                        sum += h * w;
                    }
                }
                st.push(i);
            }
        }
        return sum;
    }
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以上代码冗余了一些,但是思路是清晰的,下面我将代码精简一下,如下:

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        stack<int> st;
        st.push(0);
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i < height.size(); i++) {
            while (!st.empty() && height[i] > height[st.top()]) {
                int mid = st.top();
                st.pop();
                if (!st.empty()) {
                    int h = min(height[st.top()], height[i]) - height[mid];
                    int w = i - st.top() - 1;
                    sum += h * w;
                }
            }
            st.push(i);
        }
        return sum;
    }
};
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精简之后的代码,大家就看不出去三种情况的处理了,貌似好像只处理的情况三,其实是把情况一和情况二融合了。 这样的代码不太利于理解。

# 其他语言版本

Java:

双指针法

class Solution {
    public int trap(int[] height) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < height.length; i++) {
            // 第一个柱子和最后一个柱子不接雨水
            if (i==0 || i== height.length - 1) continue;
            
            int rHeight = height[i]; // 记录右边柱子的最高高度
            int lHeight = height[i]; // 记录左边柱子的最高高度
            for (int r = i+1; r < height.length; r++) {
                if (height[r] > rHeight) rHeight = height[r];
            }
            for (int l = i-1; l >= 0; l--) {
                if(height[l] > lHeight) lHeight = height[l];
            }
            int h = Math.min(lHeight, rHeight) - height[i];
            if (h > 0) sum += h;
        }
        return sum;

    }
}
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动态规划法

class Solution {
    public int trap(int[] height) {
        int length = height.length;
        if (length <= 2) return 0;
        int[] maxLeft = new int[length];
        int[] maxRight = new int[length];
        
        // 记录每个柱子左边柱子最大高度
        maxLeft[0] = height[0];
        for (int i = 1; i< length; i++) maxLeft[i] = Math.max(height[i], maxLeft[i-1]);
        
        // 记录每个柱子右边柱子最大高度
        maxRight[length - 1] = height[length - 1];
        for(int i = length - 2; i >= 0; i--) maxRight[i] = Math.max(height[i], maxRight[i+1]);
        
        // 求和
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            int count = Math.min(maxLeft[i], maxRight[i]) - height[i];
            if (count > 0) sum += count;
        }
        return sum;
    }
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单调栈法

class Solution {
    public int trap(int[] height){
        int size = height.length;

        if (size <= 2) return 0;
        
        // in the stack, we push the index of array
        // using height[] to access the real height
        Stack<Integer> stack = new Stack<Integer>();
        stack.push(0);

        int sum = 0;
        for (int index = 1; index < size; index++){
            int stackTop = stack.peek();
            if (height[index] < height[stackTop]){
                stack.push(index);
            }else if (height[index] == height[stackTop]){
                // 因为相等的相邻墙,左边一个是不可能存放雨水的,所以pop左边的index, push当前的index
                stack.pop();
                stack.push(index);
            }else{
                //pop up all lower value
                int heightAtIdx = height[index];
                while (!stack.isEmpty() && (heightAtIdx > height[stackTop])){
                    int mid = stack.pop();
                    
                    if (!stack.isEmpty()){
                        int left = stack.peek();

                        int h = Math.min(height[left], height[index]) - height[mid];
                        int w = index - left - 1;
                        int hold = h * w;
                        if (hold > 0) sum += hold;
                        stackTop = stack.peek();
                    }
                }
                stack.push(index);
            }
        }
        
        return sum;
    }
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Python:

双指针法

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        res = 0
        for i in range(len(height)):
            if i == 0 or i == len(height)-1: continue
            lHight = height[i-1]
            rHight = height[i+1]
            for j in range(i-1):
                if height[j] > lHight:
                    lHight = height[j]
            for k in range(i+2,len(height)):
                if height[k] > rHight:
                    rHight = height[k]
            res1 = min(lHight,rHight) - height[i]        
            if res1 > 0:
                res += res1
        return res
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动态规划

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        leftheight, rightheight = [0]*len(height), [0]*len(height)
        
        leftheight[0]=height[0]
        for i in range(1,len(height)):
            leftheight[i]=max(leftheight[i-1],height[i])
        rightheight[-1]=height[-1]
        for i in range(len(height)-2,-1,-1):
            rightheight[i]=max(rightheight[i+1],height[i])
        
        result = 0
        for i in range(0,len(height)):
            summ = min(leftheight[i],rightheight[i])-height[i]
            result += summ
        return result
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单调栈

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        # 单调栈
        '''
        单调栈是按照 行 的方向来计算雨水
        从栈顶到栈底的顺序:从小到大
        通过三个元素来接水:栈顶,栈顶的下一个元素,以及即将入栈的元素
        雨水高度是 min(凹槽左边高度, 凹槽右边高度) - 凹槽底部高度
        雨水的宽度是 凹槽右边的下标 - 凹槽左边的下标 - 1(因为只求中间宽度)
        '''
        # stack储存index,用于计算对应的柱子高度
        stack = [0]
        result = 0
        for i in range(1, len(height)):
            # 情况一
            if height[i] < height[stack[-1]]:
                stack.append(i)

            # 情况二
            # 当当前柱子高度和栈顶一致时,左边的一个是不可能存放雨水的,所以保留右侧新柱子
            # 需要使用最右边的柱子来计算宽度
            elif height[i] == height[stack[-1]]:
                stack.pop()
                stack.append(i)

            # 情况三
            else:
                # 抛出所有较低的柱子
                while stack and height[i] > height[stack[-1]]:
                    # 栈顶就是中间的柱子:储水槽,就是凹槽的地步
                    mid_height = height[stack[-1]]
                    stack.pop()
                    if stack:
                        right_height = height[i]
                        left_height = height[stack[-1]]
                        # 两侧的较矮一方的高度 - 凹槽底部高度
                        h = min(right_height, left_height) - mid_height
                        # 凹槽右侧下标 - 凹槽左侧下标 - 1: 只求中间宽度
                        w = i - stack[-1] - 1
                        # 体积:高乘宽
                        result += h * w
                stack.append(i)
        return result
        
# 单调栈压缩版        
class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        stack = [0]
        result = 0
        for i in range(1, len(height)):
            while stack and height[i] > height[stack[-1]]:
                mid_height = stack.pop()
                if stack:
                    # 雨水高度是 min(凹槽左侧高度, 凹槽右侧高度) - 凹槽底部高度
                    h = min(height[stack[-1]], height[i]) - height[mid_height]
                    # 雨水宽度是 凹槽右侧的下标 - 凹槽左侧的下标 - 1
                    w = i - stack[-1] - 1
                    # 累计总雨水体积
                    result += h * w
            stack.append(i)
        return result

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Go:

func trap(height []int) int {
	var left, right, leftMax, rightMax, res int
	right = len(height) - 1
	for left < right {
		if height[left] < height[right] {
			if height[left] >= leftMax {
				leftMax = height[left]  // 设置左边最高柱子
			} else {
				res += leftMax - height[left]  // //右边必定有柱子挡水,所以遇到所有值小于等于leftMax的,全部加入水池中
			}
			left++
		} else {
			if height[right] > rightMax { 
				rightMax = height[right]  // //设置右边最高柱子
			} else {
				res += rightMax - height[right]  // //左边必定有柱子挡水,所以,遇到所有值小于等于rightMax的,全部加入水池
			}
			right--
		}
	}
	return res
}
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动态规划解法:

func trap(height []int) int {
    sum:=0
    n:=len(height)
    lh:=make([]int,n)
    rh:=make([]int,n)
    lh[0]=height[0]
    rh[n-1]=height[n-1]
    for i:=1;i<n;i++{
        lh[i]=max(lh[i-1],height[i])
    }
    for i:=n-2;i>=0;i--{
        rh[i]=max(rh[i+1],height[i])
    }
    for i:=1;i<n-1;i++{
        h:=min(rh[i],lh[i])-height[i]
        if h>0{
            sum+=h
        }
    }
    return sum
}
func max(a,b int)int{
    if a>b{
        return a
    }
    return b
}
func min(a,b int)int{
    if a<b{
        return a
    }
    return b
}
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JavaScript:

//双指针
var trap = function(height) {
    const len = height.length;
    let sum = 0;
    for(let i = 0; i < len; i++){
        // 第一个柱子和最后一个柱子不接雨水
        if(i == 0 || i == len - 1) continue;
        let rHeight = height[i]; // 记录右边柱子的最高高度
        let lHeight = height[i]; // 记录左边柱子的最高高度
        for(let r = i + 1; r < len; r++){
            if(height[r] > rHeight) rHeight = height[r];
        }
        for(let l = i - 1; l >= 0; l--){
            if(height[l] > lHeight) lHeight = height[l];
        }
        let h = Math.min(lHeight, rHeight) - height[i];
        if(h > 0) sum += h;
    }
    return sum;
};

//动态规划
var trap = function(height) {
    const len = height.length;
    if(len <= 2) return 0;
    const maxLeft = new Array(len).fill(0);
    const maxRight = new Array(len).fill(0);
    // 记录每个柱子左边柱子最大高度
    maxLeft[0] = height[0];
    for(let i = 1; i < len; i++){
        maxLeft[i] = Math.max(height[i], maxLeft[i - 1]);
    }
    // 记录每个柱子右边柱子最大高度
    maxRight[len - 1] = height[len - 1];
    for(let i = len - 2; i >= 0; i--){
        maxRight[i] = Math.max(height[i], maxRight[i + 1]);
    }
    // 求和
    let sum = 0;
    for(let i = 0; i < len; i++){
        let count = Math.min(maxLeft[i], maxRight[i]) - height[i];
        if(count > 0) sum += count;
    }
    return sum;
};

//单调栈 js数组作为栈
var trap = function(height) {
    const len = height.length;
    if(len <= 2) return 0; // 可以不加
    const st = [];// 存着下标,计算的时候用下标对应的柱子高度
    st.push(0);
    let sum = 0;
    for(let i = 1; i < len; i++){
        if(height[i] < height[st[st.length - 1]]){ // 情况一
            st.push(i);
        }
        if (height[i] == height[st[st.length - 1]]) {  // 情况二
            st.pop(); // 其实这一句可以不加,效果是一样的,但处理相同的情况的思路却变了。
            st.push(i);
        } else { // 情况三
            while (st.length !== 0 && height[i] > height[st[st.length - 1]]) { // 注意这里是while
                let mid = st[st.length - 1];
                st.pop();
                if (st.length !== 0) {
                    let h = Math.min(height[st[st.length - 1]], height[i]) - height[mid];
                    let w = i - st[st.length - 1] - 1; // 注意减一,只求中间宽度
                    sum += h * w;
                }
            }
            st.push(i);
        }
    }
    return sum;
};

//单调栈 简洁版本 只处理情况三
var trap = function(height) {
    const len = height.length;
    if(len <= 2) return 0; // 可以不加
    const st = [];// 存着下标,计算的时候用下标对应的柱子高度
    st.push(0);
    let sum = 0;
    for(let i = 1; i < len; i++){ // 只处理的情况三,其实是把情况一和情况二融合了
        while (st.length !== 0 && height[i] > height[st[st.length - 1]]) { // 注意这里是while
            let mid = st[st.length - 1];
            st.pop();
            if (st.length !== 0) {
                let h = Math.min(height[st[st.length - 1]], height[i]) - height[mid];
                let w = i - st[st.length - 1] - 1; // 注意减一,只求中间宽度
                sum += h * w;
            }
        }
        st.push(i);
    }
    return sum;
};
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C:

一种更简便的双指针方法:

之前的双指针方法的原理是固定“底”的位置,往两边找比它高的“壁”,循环若干次求和。

我们逆向思维,把“壁”用两个初始位置在数组首末位置的指针表示,“壁”往中间推,同样可以让每个“底”都能找到最高的“壁”

本质上就是改变了运算方向,从而减少了重复运算

代码如下:

int trap(int* height, int heightSize) {
    int ans = 0;
    int left = 0, right = heightSize - 1;               //初始化两个指针到左右两边
    int leftMax = 0, rightMax = 0;                      //这两个值用来记录左右的“壁”的最高值
    while (left < right) {                              //两个指针重合就结束
        leftMax = fmax(leftMax, height[left]);
        rightMax = fmax(rightMax, height[right]);
        if (leftMax < rightMax) {                       
            ans += leftMax - height[left];              //这里考虑的是下标为left的“底”能装多少水
            ++left;//指针的移动次序是这个方法的关键
        //这里左指针右移是因为左“墙”较矮,左边这一片实际情况下的盛水量是受制于这个矮的左“墙”的
        //而较高的右边在实际情况下的限制条件可能不是当前的左“墙”,比如限制条件可能是右“墙”,就能装更高的水,
        } 
        else {
            ans += rightMax - height[right];            //同理,考虑下标为right的元素
            --right;
        }
    }
    return ans;
}
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  • 时间复杂度 $O(n)$
  • 空间复杂度 $O(1)$

上次更新:: 1/4/2022, 10:38:57 AM
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